finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB
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Wir wollen die Zielfunktion 10.2 Lineare Optimierung und Fourier-Motzkin-Elimination −x1 − x2 ≤ −1 (2) −x1 + x2 ≤ 3 (3) +x1 ≤ 3 (4) +x1 + 2x2 ≤ 9 (5) x1 + 3x2 über der Menge der zulässigen Lösungen sowohl maximieren als auch minimieren. Dazu schreiben wir (wie oben erläutert) das folgende Ungleichungssystem −x2 ≤ 0 (1) −x1 − x2 ≤ −1 (2) −x1 + x2 ≤ 3 (3) +x1 ≤ 3 (4) +x1 + 2x2 ≤ 9 (5) +x1 + 3x2 − x3 ≤ 0 (6) −x1 − 3x2 + x3 ≤ 0 (7) auf und eliminieren die Variable x1. Das Ergebnis ist das folgende Ungleichungssystem: (1) −x2 ≤ 0 (1) (2, 4) −x2 ≤ 2 (2) (2, 5) +x2 ≤ 8 (3) (2, 6) +2x2 − x3 ≤ −1 (4) (3, 4) +x2 ≤ 6 (5) (3, 5) +x2 ≤ 4 (6) (3, 6) +4x2 − x3 ≤ 3 (7) (7, 4) −3x2 + x3 ≤ 3 (8) (7, 5) −x2 + x3 ≤ 9 (9) Wir haben oben die Variable x1 weggelassen. Die erste Spalte zeigt an, woher die neue Ungleichung kommt. So ist z. B. die 5. Ungleichung aus der Kombination der 3. und 4. Ungleichung des vorhergehenden Systems entstanden. Ungleichungen der Form 0x2 + 0x3 ≤ α haben wir weggelassen. Eine solche ist z. B. die Ungleichung, die aus der Kombination der 7. und 6. Ungleichung entsteht. Die Elimination der Variablen x2 liefert nun analog (1, 4) −x3 ≤ −1 (1) (1, 7) −x3 ≤ 3 (2) (2, 4) −x3 ≤ 3 (3) (2, 7) −x3 ≤ 11 (4) 199
10 Fourier-Motzkin-Elimination und Projektion (8, 3) +x3 ≤ 27 (5) (8, 4) −x3 ≤ 3 (6) (8, 5) +x3 ≤ 21 (7) (8, 6) +x3 ≤ 15 (8) (8, 7) +x3 ≤ 21 (9) (9, 3) +x3 ≤ 17 (10) (9, 4) +x3 ≤ 17 (11) (9, 5) +x3 ≤ 15 (12) (9, 6) +x3 ≤ 13 (13) (9, 7) +3x3 ≤ 39 (14) Die größte untere Schranke für x3 ist 1. Sie wird von der ersten Ungleichung geliefert. Die kleinste obere Schranke hat den Wert 13, dieser folgt aus den Ungleichungen 13 und 14. Damit ist 13 der Maximalwert der Zielfunktion, 1 ist der Minimalwert. Setzen wir x3 = 13 in das vorhergehende Ungleichungssystem ein, so ergibt sich der Wert x2 = 4. Durch Substitution dieser beiden Werte in das Ausgangssystem erhalten wir x1 = 1. Der maximale Zielfunktionswert wird also im zulässigen Punkt x1 = 1, x2 = 4 angenommen.△ 200
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10 Fourier-Motzkin-Elimination und Projektion<br />
(8, 3) +x3 ≤ 27 (5)<br />
(8, 4) −x3 ≤ 3 (6)<br />
(8, 5) +x3 ≤ 21 (7)<br />
(8, 6) +x3 ≤ 15 (8)<br />
(8, 7) +x3 ≤ 21 (9)<br />
(9, 3) +x3 ≤ 17 (10)<br />
(9, 4) +x3 ≤ 17 (11)<br />
(9, 5) +x3 ≤ 15 (12)<br />
(9, 6) +x3 ≤ 13 (13)<br />
(9, 7) +3x3 ≤ 39 (14)<br />
Die größte untere Schranke für x3 ist 1. Sie wird von der ersten Ungleichung geliefert.<br />
Die kleinste obere Schranke hat den Wert 13, dieser folgt aus den Ungleichungen 13<br />
und 14. Damit ist 13 der Maximalwert der Zielfunktion, 1 ist der Minimalwert. Setzen<br />
wir x3 = 13 in das vorhergehende Ungleichungssystem ein, so ergibt sich der Wert x2 = 4.<br />
Durch Substitution dieser beiden Werte in das Ausgangssystem erhalten wir x1 = 1. Der<br />
maximale Zielfunktionswert wird also im zulässigen Punkt x1 = 1, x2 = 4 angenommen.△<br />
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