finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

10 Fourier-Motzkin-Elimination und Projektion
10.2 Lineare Optimierung und Fourier-Motzkin-Elimination
Die Fourier-Motzkin-Elimination ist nicht nur eine Projektionsmethode, man kann sie
auch zur Lösung linearer Programme verwenden. Dies geht wie folgt.
Wir beginnen mit einem linearen Programm der Form
max c T x
Ax ≤ a
mit A ∈ K m×n , a ∈ K m und setzen P = P (A, b). Wir führen nun eine zusätzliche Variable
xn+1 ein und fügen zur Matrix A eine zusätzliche Spalte und Zeile hinzu. Diese Matrix
nennen wir B. Die (m + 1)-te Zeile von B enthält in den ersten n Spalten den Vektor c,
d. h. bm+1,j = cj, j = 1, . . . , n; wir setzen bi,n+1 = 0 für i = 1, . . . , m und bm+1,n+1 = −1.
Wir verlängern den Vektor a ∈ K m um eine Komponente, die den Wert 0 enthält, und
nennen diesen (m + 1)-Vektor b:
B =
A 0
cT
, b =
−1
a
.
0
Wenden wir die Fourier-Motzkin-Elimination auf Ax ≤ a an, so können wir feststellen, ob
die Lösungsmenge P des linearen Programms leer ist oder nicht. Führen wir die Fourier-
Motzkin-Elimination mit Bx ≤ b durch und eliminieren wir nur die ersten n Variablen,
so erhalten wir am Ende ein System Dnx ≤ dn, welches nichts anderes ist als ein Ungleichungssystem
der Form αi ≤ xn+1 ≤ βj, wobei die βj die positiven und die αi die
negativen Einträge des Vektors dn sind. Das Minimum über die Werte βj liefert den
maximalen Wert der Zielfunktion c T x des gegebenen linearen Programms.
Setzen wir xi := 0, i = 1, . . . , n und xn+1 := min{βj}, so können wir mit diesem
Vektor x = (xi) beginnend durch Rücksubstitution – wie in Satz (10.4)(d) beschrieben
– eine Optimallösung von max c T x, Ax ≤ b berechnen.
Wenn wir statt des Maximums von c T x über P das Minimum finden wollen, so fügen
wir bei der Konstruktion der Matrix B statt der Zeile (c T , −1) die Zeile (−c T , 1) ein.
Wollen wir das Maximum und Minimum gleichzeitig bestimmen, so führen wir die Fourier-Motzkin-Elimination
der ersten n Variablen auf der Matrix durch, die um die beiden
Zeilen (c T , −1) und (−c T , 1) erweitert wurde.
Dieses Verfahren zur Lösung linearer Programme ist konzeptionell extrem einfach und
klar. Versuchen Sie einmal, damit lineare Programme „anständiger Größenordnung“ zu
lösen. Sie werden sich wundern und wissen dann, warum Fourier-Motzkin-Elimination
nicht zur linearen Optimierung benutzt wird.
Wir beschließen die Diskussion der Fourier-Motzkin-Elimination als Methode zur Lösung
linearer Programme durch numerische Berechnung eines Beispiels.
(10.14) Beispiel. Wir beginnen mit folgendem System von 5 Ungleichungen mit 2 Variablen:
198
−x2 ≤ 0 (1)