finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

(10.11) Algorithmus. Orthogonale Projektion eines Polyeders auf
L = {y ∈ Kn | c T y = 0}, c = 0
10.1 Fourier-Motzkin-Elimination
(kurz: Projektion entlang c).
Eingabe: Ein Vektor c ∈ K n , c = 0 (die Projektionsrichtung), eine Matrix A ∈ K (m,n) ,
ein Vektor b ∈ K m .
Ausgabe: Eine Matrix D ∈ K (r,n) (r wird im Algorithmus berechnet), ein Vektor d ∈
K r .
(1) Partitioniere die Menge M = {1, . . . , m} der Zeilenindizes von A wie folgt
(2) Setze
(3) Für i = 1, 2, . . . , r führe aus:
(a) Ist p(i) ∈ Z, dann setze
N := {i ∈ M | Ai·c < 0},
Z := {i ∈ M | Ai·c = 0},
P := {i ∈ M | Ai·c > 0}.
r := |Z ∪ N × P |,
R := {1, 2, . . . , r}, und
p: R → Z ∪ N × P sei eine Bijektion.
Di· := A p(i)·, di = b p(i).
(D. h. die i-te Zeile von D ist gleich der p(i)-ten Zeile von A.)
(b) Ist p(i) = (s, t) ∈ N × P , dann setze
Di· := (At·c)As· − (As·c)At·,
di := (At·c)bs − (As·c)bt.
(4) Gib D und d aus. △
(10.12) Satz. Seien D ∈ K (r,n) und d ∈ K r die in (10.1) konstruierte Matrix bzw.
Vektor. Dann gilt
(a) Die Zeilen von D sind orthogonal zu c, d.h., die Zeilenvektoren von D sind in L =
{y ∈ Kn | c T y = 0} enthalten und konische Kombinationen der Zeilen von A.
(b) P (D, d) ∩ L ist die orthogonale Projektion von P (A, b) auf L. △
(10.13) Satz. Die Projektion eines Polyeders ist ein Polyeder! △
Durch sukzessive Projektion kann man ein Polyeder auf einen beliebigen Unterraum
{y ∈ Kn | By = 0} des Kn projizieren.
197