finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

10 Fourier-Motzkin-Elimination und Projektion
Erneute Anwendung von (10.6) liefert die Existenz einer Matrix U2 ∈ K (r2,r1) mit U2 ≥ 0
und
D2 = U2D1, d2 = U2d1.
Setzen wir die Schlussweise fort, so erhalten wir eine Matrix Un ∈ K (rn,rn−1) mit Un ≥ 0
und
0 = Dn = UnDn−1, dn = Undn−1.
Für die Matrix
gilt dann
U := Un · . . . · U1 ∈ K (rn,m)
U ≥ 0, 0 = UA, dn = Ub
Daraus folgt, dass jede Zeile der Matrix Dn, welche die Nullmatrix ist, eine konische
Kombination von Zeilen von A ist.
Wir haben uns oben überlegt, dass Ax ≤ b genau dann nicht konsistent ist, wenn
Dnx ≤ dn nicht konsistent ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn es eine Komponente
von dn gibt, die negativ ist, anders ausgedrückt, wenn es einen Vektor u (eine Zeile der
Matrix U) gibt mit 0 T = u T A und u T b < 0. Fassen wir diese Beobachtung zusammen.
(10.8) Folgerung. Es seien A ∈ K (m,n) und b ∈ K m , dann gilt: Das Ungleichungssystem
Ax ≤ b hat genau dann keine Lösung, wenn es einen Vektor u ∈ K m , u ≥ 0 gibt mit
u T A = 0 T und u T b < 0. △
Diese (einfache) Konsequenz aus unserem Eliminationsverfahren (10.1) ist eines der
nützlichsten Resultate der Polyedertheorie.
Ergänzende Abschweifung
Das Fourier-Motzkin-Eliminationsverfahren ist ein Spezialfall eines allgemeinen Projektionsverfahrens
auf lineare Teilräume des K n .
(10.9) Definition. Sei L ein linearer Unterraum von K n . Ein Vektor x ∈ K n heißt
orthogonale Projektion eines Vektors x ∈ K n auf L, falls x ∈ L und (x − x) T x = 0
gilt. △
(10.10) Bemerkung. Sei B ∈ K (m,n) eine Matrix mit vollem Zeilenrang, L = {x ∈
K n | Bx = 0}, dann ist für jeden Vektor x ∈ K n , der Vektor
x := (I − B T (BB T ) −1 B)x
die orthogonale Projektion auf L. △
Die Fourier-Motzkin-Elimination der j-ten Variablen kann man, wie wir jetzt zeigen,
als orthogonale Projektion von P (A, b) auf den Vektorraum L = {x | xj = 0} deuten.
Wir zeigen nun, wie man ein Polyeder P (A, b) auf L = {y | c T y = 0}, c = 0, projiziert.
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