finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

Vorwort
Bei dem vorliegenden Skript handelt es sich um die Ausarbeitung der vierstündigen
Vorlesung „Einführung in die Lineare und Kombinatorische Optimierung“ (mit zugehörigen
Übungen und Tutorien), die die grundlegende Vorlesung des dreisemestrigen Zyklus
„Algorithmische Diskrete Mathematik“ bildet. Diese Vorlesung wurde von mir im Wintersemester
20012/13 zusammen mit Benjamin Hiller an der TU Berlin gehalten, der
auch an der Ausarbeitung des vorliegenden Vorlesungsskripts beteiligt war.
Das erste Ziel dieser Vorlesung ist, das Verständnis für Fragestellung der mathematischen
Optimierung und deren Anwendungen zu wecken und das Vorgehen bei der mathematischen
Modellierung von Optimierungsproblemen aus der Praxis kennenzulernen.
Das zweite und wichtigere Ziel ist die Einführung in die Methoden zur Lösung derartiger
Probleme. Die erste Vorlesung des Zyklus vermittelt Grundlagen der Theorie der
Graphen und Netzwerke sowie der linearen, kombinatorischen und ganzzahligen Optimierung.
Hierbei wird auf algorithmische Aspekte besonderer Wert gelegt.
Grundkenntnisse der linearen Algebra werden vorausgesetzt, die aus der diskreten Mathematik
(vornehmlich Graphentheorie) benötigten Begriffe und Grundlagen werden in
der Vorlesung vorgestellt.
In der Vorlesung werden insbesondere kombinatorische Optimierungsprobleme behandelt,
die sich graphentheoretisch formulieren lassen, wobei vornehmlich Probleme untersucht
werden, die mit Hilfe polynomialer Algorithmen gelöst werden können. Hierzu
gehört natürlich eine Einführung in die Komplexitätstheorie (die Klassen P und NP, NP-
Vollständigkeit). Es werden gleichfalls einige Heuristiken und Approximationsverfahren
für „schwere“ Probleme vorgestellt sowie Methoden zu deren Analyse. Mit der Darstellung
des Simplexalgorithmus und einiger seiner theoretischen Konsequenzen (Dualitätssatz,
Sätze vom komplementären Schlupf) beginnt die Einführung in die lineare Optimierung,
wobei auch bereits einige Aspekte der ganzzahligen Optimierung behandelt werden.
Es gibt kein einzelnes Buch, das den gesamten, in dieser Vorlesung abgehandelten
Themenkreis abdeckt. Daher sind in die einzelnen Kapitel Literaturhinweise eingearbeitet
worden. Hinweise auf aktuelle Lehrbücher, die als Begleittexte zur Vorlesung geeignet sind
finden sich auf der zur Vorlesung gehörigen Webseite:
http://www.zib.de/groetschel/teaching/WS1213/Lecture-WS1213-deutsch.html
Die vorliegende Ausarbeitung ist ein Vorlesungsskript und kein Buch. Obwohl mit der
gebotenen Sorgfalt geschrieben, war nicht genügend Zeit für das bei Lehrbüchern notwendige
intensive Korrekturlesen und das Einarbeiten umfassender Literaturhinweise.
Die daher vermutlich vorhandenen Fehler bitte ich zu entschuldigen (und mir wenn möglich
mitzuteilen). Das Thema wird nicht erschöpfend behandelt. Das Manuskript enthält
nur die wesentlichen Teile der Vorlesung. Insbesondere sind die Schilderungen komplexer
Anwendungsfälle, der Schwierigkeiten bei der Modellierung praktischer Probleme,
der Probleme bei der praktischen Umsetzung und die Darstellung der Erfolge, die in
den letzten Jahren beim Einsatz der hier vorgestellten Methodik in der Industrie erzielt
wurden, nicht in das Skript aufgenommen worden.
Martin Grötschel