finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

10 Fourier-Motzkin-Elimination und Projektion
Beweis. (a) Falls D die leere Matrix ist, so ist die Behauptung natürlich richtig. Wurde
eine Zeile i von D in Schritt 3 (a) definiert, so ist dij = 0, da a p(i)j = 0. Andernfalls
gilt dij = atjasj −asjatj = 0 nach Konstruktion. Das heißt, die j-te Spalte D·j von D
ist der Nullvektor. Man beachte auch, dass im Falle N = ∅ oder P = ∅ die Matrix D
nur aus den Zeilen Ai· von A besteht mit i ∈ Z.
(b) ist offensichtlich nach Definition und impliziert (c).
(d) Sei x ∈ K n mit xj = 0 ein beliebiger Vektor. Wir zeigen zunächst (d1). Angenommen
x ∈ P (D, d). Wir zeigen zunächst, dass L ≤ U gilt. Ist P = ∅ oder N = ∅, so gilt
offensichtlich L ≤ U nach Definition. Wir können also annehmen, dass P = ∅, N = ∅
gilt. Es seien s ∈ N, t ∈ P und q ∈ R so gewählt, dass p(q) = (s, t) und λs = L,
λt = U gelten.
Dann gilt
woraus folgt
atjAs·x − asjAt·x = Dq·x ≤ dq = atjbs − asjbt,
und somit (wegen atj > 0 und asj < 0)
U = λt = 1
asj(bt − At·x) ≤ atj(bs − As·x)
atj
(bt − At·x) ≥ 1
asj
(bs − As·x) = λs = L.
Wir zeigen nun Ai·(x + λej) ≤ bi für alle λ ∈ [L, U] und alle i ∈ M = P ∪ N ∪ Z,
wobei ej den j-ten Einheitsvektor bezeichnet.
Ist i ∈ Z, so gibt es ein j ∈ R mit p(j) = i und Dj· = Ai·, dj = bi. Aus Dj·x ≤ dj
folgt daher Ai·(x + λej) = Ai·x + aijλ = Ai·x ≤ bi.
Ist i ∈ P , dann gilt U < +∞ und somit
Ai·(x + λej) = Ai·x + aijλ ≤ Ai·x + aijU ≤ Ai·x + aijλi = bi.
Analog folgt die Behauptung für i ∈ N.
Der Beweis von (d2) sei dem Leser überlassen. ✷
(10.6) Folgerung. P (A, b) = ∅ ⇐⇒ P (D, d) = ∅. △
Sprechweise für (10.6):
Ax ≤ b ist konsistent (lösbar) ⇐⇒ Dx ≤ d ist konsistent (lösbar).
Die Fourier-Motzkin-Elimination der j-ten Variablen kann man natürlich auch auf ein
System von normalen und strikten Ungleichungen anwenden. Eine Nachvollziehung des
obigen Beweises liefert:
194