finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

10 Fourier-Motzkin-Elimination und Projektion
(b) Falls p(i) = (s, t) ∈ N × P , dann setze
Di· := atjAs· − asjAt·,
di := atjbs − asjbt
(d. h., das asj-fache der t-ten Zeile von A wird vom atj-fachen der s-ten Zeile von
A abgezogen und als i-te Zeile von D betrachtet). △
Hinweis: Die in (10.1) konstruierte Menge Z ∪ (N × P ) kann leer und somit r = 0
sein. Die Matrix D ist dann eine Matrix mit 0 Zeilen und n Spalten und somit Dx ≤ d
ein „leeres Ungleichungssystem“. Die Menge der zulässigen Lösungen P (D, d) = {x ∈
K n |Dx ≤ d} unterliegt folglich keiner Einschränkung und ist daher der ganze Raum K n .
Bevor wir den Algorithmus analysieren, betrachten wir ein Beispiel:
−7x1 + 6x2 ≤ 25 (1)
+x1 − 5x2 ≤ 1 (2)
+x1 ≤ 7 (3)
−x1 + 2x2 ≤ 12 (4)
−x1 − 3x2 ≤ 1 (5)
+2x1 − x2 ≤ 10 (6)
Wir wollen die zweite Variable x2 eliminieren und erhalten in Schritt 1 von (10.1):
N = {2, 5, 6}, Z = {3}, P = {1, 4}.
Daraus ergibt sich |Z ∪ (N × P )| = 7. Die Nummerierung der Zeilen von D ist dann
R = {1, . . . , 7}, und wir setzen:
p(1) = 3, p(2) = (2, 1), p(3) = (2, 4), p(4) = (5, 1), p(5) = (5, 4),
p(6) = (6, 1), p(7) = (6, 7).
Die zweite Zeile von D ergibt sich dann als die Summe vom 6-fachen der zweiten Zeile
von A und dem 5-fachen der ersten Zeile von A. Die zweite Ungleichung des Systems
Dx ≤ d hat somit die Form −29x1 + 0x2 ≤ 131.
Insgesamt ergibt sich (wenn wir die aus lauter Nullen bestehende zweite Spalte weglassen),
das folgende System Dx ≤ d:
192
+x1 ≤ 7 (1)
−29x1 ≤ 131 (2)
−3x1 ≤ 62 (3)
−27x1 ≤ 81 (4)
−5x1 ≤ 38 (5)
+5x1 ≤ 85 (6)
+3x1 ≤ 32 (7)