finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

9.5 Die Phase I
x ≥ 0. Wir müssen nun noch evtl. Zeilen von A streichen, um die Rangbedingung
zu erfüllen.
(I.3) Falls B ∩ {n + 1, . . . , n + m} = ∅, so befinden sich in der optimalen Basis keine
künstlichen Variablen, d. h. es gilt DB = AB. Da DB = AB regulär ist, gilt
rang(A) = m.
Falls N ∩ {1, . . . , n} = ∅, so sind alle Basisvariablen Originalvariablen, und wir
haben m = n. Dann gilt x = A −1 b und P = (A, b) = {x}. In diesem Falle können wir
das Verfahren beenden mit Antwort (b), STOP! Der Vektor x ist die Optimallösung
eines jeden LP über P = (A, b). Andernfalls ist m < n und AB ein zulässige Basis
von A. Wir setzen I = {1, . . . , m} und schließen das Verfahren mit Antwort (c) ab,
STOP!
Die beiden abschließenden Schritte sind für den Fall vorgesehen, dass sich noch
künstliche Variablen in der Basis befinden, d. h. falls B∩{n+1, . . . , n+m} = ∅. Wir
versuchen zunächst, diese künstlichen Variablen aus der Basis zu entfernen. Da alle
künstlichen Variablen yn+1, . . . , yn+m Null sind, ist die Basislösung z = (zB, zN),
b degeneriert. Sei o. B. d. A.
zB = D −1
B
z T B = (yp1 , . . . , ypt, xpt+1 , . . . , xpm),
d. h. B ∩ {n + 1, . . . , n + m} = {p1, . . . , pt}. Wenn wir also künstliche Variablen aus
der Basis entfernen wollen, müssen wir prüfen, ob wir sie aus der Basis „hinauspivo-
tisieren“ können, d. h. ob in den Zeilen Di· (i = 1, . . . , t) (D = (drs) = D −1
B DN) von
Null verschiedene Pivotelemente vorhanden sind. Da wir ja nur Nichtbasisvariable
gegen degenerierte Basisvariable austauschen, also Nullen gegen Nullen tauschen,
können wir auch Pivotoperationen auf negativen Elementen zulassen.
(I.4) Falls es r ∈ {1, . . . , t} und s ∈ {1, . . . , n} gibt, so dass zqs keine künstliche Variable
ist und drs = 0 gilt, dann führe eine Pivotoperation mit dem Pivotelement drs
entsprechend Satz (9.12) durch. Wir erhalten dadurch eine neue Basis DB ′, mit
einer künstlichen Variablen weniger, setzen B := B ′ und gehen zu (I.3).
(I.5) Falls dij = 0 ∀ i ∈ {1, . . . , t} ∀ s ∈ {1, . . . , n}, für die zqs keine künstliche Variable
ist, dann hat das Gleichungssystem zB = D −1
B b − D−1
B DNzN bis auf Permutationen
der Zeilen und Spalten folgende Form:
⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡
zp1 0
⎜ ⎟ ⎢ ⎥
⎝ . ⎠ = ⎣.
⎦ − ⎣
0
0
⎤
∗⎦
xN
yN
zpt
und ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡
⎤
zpt+1
⎜ ⎟
⎝ . ⎠ = ⎣∗⎦
− ⎣ ∗ ∗⎦
zpm
xN
yN
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