finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB
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9 Die Grundversion <strong>des</strong> Simplex-Algorithmus<br />
Wir formulieren zunächst ein lineares „Hilfsprogramm“. Sei D := (A, I) und betrachte<br />
das LP:<br />
max 1 T Ax<br />
<br />
x<br />
<br />
D = b<br />
y<br />
x, y ≥ 0<br />
(9.39)<br />
wobei x T = (x1, . . . , xn), y T = (yn+1, . . . , yn+m) gesetzt wird. Wir nennen die Variablen<br />
yn+1, . . . , yn+m künstliche Variablen und die Variablen x1, . . . , xn Originalvariablen.<br />
Das LP (9.39) erfüllt die Zusatzvoraussetzungen (9.2)(a), (b), (c), und mit<br />
B = (n + 1, . . . , n + m) ist DB eine zulässige Basis mit zugehöriger Basislösung x = 0,<br />
y = b. Es gilt offenbar<br />
<br />
x<br />
<br />
D = b<br />
y<br />
x, y ≥ 0<br />
⇐⇒<br />
Ax + y = b<br />
x, y ≥ 0 ,<br />
daraus folgt 1 T Ax = 1 T b − 1 T y, d. h. (9.39) ist äquivalent zu max{1 T b − 1 T y | Ax + y =<br />
b, x, y ≥ 0} bzw. zu<br />
1 T b − min 1 T y<br />
Ax + y =b<br />
x, y ≥0.<br />
(9.40)<br />
(9.40) bzw. (9.39) besagen also, dass die künstlich eingeführten Variablen möglichst klein<br />
gewählt werden sollen.<br />
(I.1) Wende die Grundversion (9.17) <strong>des</strong> Simplexverfahrens auf (9.39) an. Die Matrix<br />
D hat vollen Zeilenrang und weniger Zeilen als Spalten, B = (n + 1, . . . , n + m)<br />
definiert eine zulässige Basis, zu der die Matrix A und die Vektoren b, c und c0<br />
trivial zu berechnen sind. Wir können also direkt mit diesen Daten mit Phase II<br />
beginnen.<br />
Das LP (9.40) ist offenbar durch 1 T b−0 = 1 T b nach oben beschränkt, also ist (9.39)<br />
durch 1 T y nach oben beschränkt, und somit besitzt (9.39) eine optimale Lösung.<br />
Daher endet das Simplexverfahren mit einer optimalen Basis DB und zugehöriger<br />
Basislösung z = x<br />
y .<br />
Wir werden nun die optimale Lösung bzw. die optimale Basis analysieren, um aus<br />
Eigenschaften der Lösung bzw. Basis die Schlussfolgerungen (a), (b) oder (c) ziehen<br />
zu können.<br />
(I.2) Falls 1 T Ax < 1 T b, so wird das Minimum in (9.40) nicht in y = 0 angenommen.<br />
Hieraus folgt offenbar, dass P = (A, b) = ∅ gilt, und wir können das Verfahren mit<br />
Antwort (a) beenden, STOP!<br />
186<br />
Die folgenden Schritte behandeln den Fall 1 T Ax = 1 T b. D. h. es gilt 1 T Ax =<br />
1 T b − 1 T y = 1 T b bzw. 1 T y = 0. Somit gilt y = 0, und x ist zulässig bzgl. Ax = b,
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