finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

9.5 Die Phase I
(2) Kleinster-Variablenindex-Regel: Wähle r ∈ R, so dass pr = min{pi ∈ B | i ∈ R}. △
Keine der beiden Regeln in (9.35) kann für sich allein Endlichkeit des Simplexverfahrens
bewirken. Aber eine Kombination von (9.35)(2) und (9.27)(2) schafft es.
(9.36) Bemerkung (Bland-Regel). R. Bland („New finite pivoting rules for the simplex
method“, Mathematics of Operations Research 2 (1977), 103–107) hat gezeigt, dass
das Simplexverfahren auch endlich ist, wenn sowohl bei der Spaltenauswahl als auch bei
der Zeilenauswahl die Kleinster-Variablen-Index Regel angewendet wird. △
Von Avis und Chvátal („Notes on Bland’s pivoting rule“, Mathematical Programming
Studies 8 (1978), 24–34) sind Untersuchungen über die Praktikabilität der Bland-Regel
gemacht worden. Dabei hat sich gezeigt, dass i. a. die Anzahl der Pivotoperationen bei
Anwendung der Bland-Regel wesentlich höher liegt als z. B. bei der Steilster-Anstieg
Regel (9.27)(3). Für Computerimplementierungen ist die Bland-Regel selbst bei hochdegenerierten
Problemen nicht gut geeignet.
(9.37) Bemerkung (Worst-Case Verhalten des Simplexverfahrens). Zu fast allen
bekannten Pivotauswahlregeln (speziell zu allen, die hier genannt wurden) kennt man
heute eine Klasse von Polyedern und Zielfunktionen, so dass der Simplexalgorithmus bei
Anwendung einer zugehörigen Auswahlregel durch alle Ecken des Polyeders läuft. Da die
Anzahl der Ecken dieser Polyeder exponentiell mit der Anzahl der Variablen wächst, sagt
man, dass das Simplexverfahren ein exponentielles worst-case Verhalten besitzt. △
9.5 Die Phase I
Zur vollständigen Beschreibung der Grundversion der Simplexmethode fehlt noch eine
Darstellung der Phase I von (9.17). Diese wollen wir nun nachholen. Ist das Ungleichungssystem
Ax = b, x ≥ 0 gegeben, so können wir stets o. B. d. A. b ≥ 0 annehmen, denn
Multiplikation einer Gleichung mit −1 verändert das Polyeder nicht.
(9.38) Phase I des Simplexverfahrens.
Eingabe: A ∈ K (m,n) , b ∈ K m mit b ≥ 0.
Ausgabe:
(a) P = (A, b) = ∅ oder
(b) P = (A, b) = {x} oder
(c) Ausgabe von I ⊆ {1, . . . , m} und B = (p1, . . . , pk) mit folgenden Eigenschaften:
(1) Mit A ′ := AI·, b ′ := bI gilt P = (A ′ , b ′ ) = ∅, rang(A ′ ) = |I| = k, k < n und
P = (A ′ , b ′ ) = P = (A, b).
(2) A ′ B ist eine zulässige Basis von A′ .
185