finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

9 Die Grundversion des Simplex-Algorithmus
das heißt, das lexikographische Minimum wird eindeutig angenommen. Seien r und r ′
Indizes mit
1
ars
(A −1
B A)r· = 1
ar ′ (A
s
−1
B A)r ′ ·
(9.33)
und o. B. d. A. sei A = (AB, AN). Dann gilt (A −1
B A)r· = (A −1
B )r·A = (eT r , Ar·) und
(A −1
B A)r ′ · = (eT r ′, Ar ′ ·) und (9.33) impliziert (eT r , Ar·) = ars
(eT r ′, Ar ′ ·). Damit folgt er =
ar ′ s
ars
a
er
r ′ s
′ und somit r = r′ . Also gilt (9.32).
Sei AB nun eine zulässige Basis von A (z. B. die Startbasis (evtl. auch die der Phase I))
und sei TB das zugehörige Simplextableau (vgl. (9.19)). O. B. d. A. sei
TB =
0 c −c T B A −1
B b
I A A −1
B b
(evtl. ist eine Permutation der Spalten der Ausgangsmatrix notwendig).
Sei B ′ = (p1, . . . , pr−1, qs, pr+1, . . . , pm). Dann gilt
(TB ′)r· ≻ 0
denn (TB)r· ≻ 0 und ars > 0 (vgl. Formel (9.21)(a)). Da nach Voraussetzung (TB)i· ≻ 0
∀ i = 1, . . . , m, folgt
(TB ′)i· ≻ 0 ∀ i mit ais ≤ 0.
Aus (9.32) folgt nun (TB)i· ≻ ais
ars (TB)r· für alle i = r mit ais > 0, d. h.
(TB ′)i· ≻ 0 ∀ i mit ais > 0.
Somit sind bei Anwendung der 1. Lexikographischen Regel stets alle Zeilen (TB)i· (i = 0)
des Simplextableaus lexikographisch positiv, d. h. es gilt für 2 aufeinanderfolgende Basen
B und B ′ (vgl. (9.21)(a))
(TB ′)o· − (TB)o· = − (TB)os
(TB)r· ≺ 0,
denn (TB)os > 0. Also sind alle Simplextableaus verschieden und da nur endlich viele zulässige
Basislösungen und somit Simplextableaus existieren, folgt nun die Behauptung.✷
(9.34) Bemerkung (2. Lexikographische Zeilenauswahlregel). Wähle r ∈ R, so
dass
1
△
ars
(A −1
B )r·
1
= lex – min (A
ais
−1
B )i·
| ais > 0, i ∈ {1, . . . , m} .
Die Anwendung der 2. Lexikographischen Regel garantiert auch Endlichkeit des Simplexverfahrens,
analog zu Satz (9.31) (siehe Kall oder Dantzig S. 269, diese folgt aus der
Störungsmethode).
ars
(9.35) Bemerkung (Weitere Zeilenauswahlregeln).
(1) Kleinster-Index-Regel: r := min R.
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