finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

9.4 Spalten- und Zeilenauswahlregeln
anderen Basis einen wesentlich größeren Gesamtfortschritt bringt. Hierzu ist Regel (4)
geschaffen. Bei ihr wird für jeden möglichen Basiswechsel der tatsächliche Zuwachs gj der
Zielfunktion berechnet, und es wird der Basiswechsel vorgenommen, der den insgesamt
größten Fortschritt bringt. Diese Verbesserung wird natürlich durch einen erheblichen
rechnerischen Mehraufwand erkauft, bei dem es fraglich ist, ob er sich lohnt.
Aufgrund von Erfahrungen in der Praxis kann gesagt werden, dass sich die trivialen
Regeln (1), (2) und (3) für kleinere bis mittlere Problemgrößen bewährt haben, jedoch
für große LPs, Modifizierungen von (9.27)(4), wie sie in den Literaturangaben beschrieben
sind, benutzt werden. Die trivialen Regeln führen im allgemeinen zu insgesamt mehr
Pivotoperationen. Die komplizierten Regeln versuchen die Anzahl der Pivotoperationen
minimal zu gestalten. Hierbei ist ein wesentlich höherer Rechenaufwand erforderlich (viele
Spalten von A sind zu generieren und für jede Spalte ist λ0 zu berechnen), der bei
kleineren Problemen durchaus einem mehrfachen Basisaustausch entspricht und sich daher
nicht auszahlt. Bei großen Problemen ist i. A. der Basiswechsel rechenaufwendiger als
die komplizierte Auswahl der Pivotspalte. Hier zahlt sich dann die sorgfältige Auswahl
der Pivotspalte bei der Gesamtrechenzeit aus.
Bei der Auswahl von Pivotzeilen gibt es nicht so viele interessante Regeln, aber hier
kann durch geschickte Wahl die Endlichkeit des Simplexverfahrens erzwungen werden.
Im folgenden gehen wir davon aus, dass der Spaltenindex s durch eine Spaltenauswahl-
regel (9.27) bestimmt wurde und setzen R := {i ∈ {1 . . . , m} |
zunächst eine Definition.
bi
ais = λ0}. Wir treffen
(9.28) Definition. Ein Vektor x T = (x1, . . . , xn) ∈ K n heißt lexikographisch positiv
(wir schreiben: x ≻ 0), wenn die erste von Null verschiedene Komponente positiv ist
(d. h. ist i := min supp(x), dann ist xi > 0). Wir schreiben x ≻ y, falls x − y ≻ 0 gilt.△
(9.29) Bemerkung. „≻“ definiert eine totale Ordnung im K n . Wir schreiben x y ⇐⇒
x ≻ y ∨ x = y und bezeichnen mit lex–min S das lexikographische Minimum einer
endlichen Menge S ⊆ K n . △
(9.30) Bemerkung (1. Lexikographische Zeilenauswahlregel). Wähle r ∈ R so
dass
1
ars
(A −1
B A)r· = lex – min{ 1
(A
ais
−1
B A)i· | ais > 0, i ∈ {1, . . . , m}}.
Mit Regel (9.30) wird jedes Simplexverfahren unabhängig von der Spaltenauswahlregel
endlich.
(9.31) Bemerkung (Endlichkeit des Simplexalgorithmus). Wird im Simplexverfahren
die 1. Lexikographische Regel (9.30) verwendet, so endet der Algorithmus nach
endlich vielen Schritten, gleichgültig, welche Spaltenauswahlregel verwendet wird. △
Beweis. Wir zeigen zuerst:
1
ars
(A −1
B A)r· ≺ 1
(A
ais
−1
B A)i· ∀ i = r, (9.32)
△
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