finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

9.3 Das Simplexverfahren
Das letzte Tableau ist bis auf Spaltenvertauschung das gleiche wie das erste. Alle Basen
der oben generierten Folge gehören zur Ecke x T = (0, 0, 0, 0) des Ausgangsproblems. Die
bei der Berechnung des Beispiels benutzte Variante des Simplexverfahrens würde also
nicht nach endlich vielen Schritten abbrechen. △
Wie Satz (9.24) zeigt, funktioniert die Grundversion der Simplexmethode, gleichgültig
welche Arten von Auswahlregeln man in den Schritten (II.2) und (II.4) benutzt, wenn
alle Basislösungen nicht entartet sind. Es ist daher sinnvoll zu fragen, ob man nicht das
Ausgangsproblem so modifizieren (stören) kann, dass das neue Problem nicht entartet
ist. Dass dies geht, zeigt der folgende Satz. Wie üblich bezeichnen wir das LP max{c T x |
Ax = b, x ≥ 0} mit (9.1). Sei für ein ε T = (ε1, . . . , εn), ε > 0
max c T x
(9.26) Satz (Perturbationsmethode).
Ax = b + Aε
x ≥ 0.
(9.1ε)
(a) Das lineare Programm (9.1) ist genau dann lösbar, wenn das LP (9.1ε) lösbar ist für
jedes ε > 0.
(b) Es gibt ein ε0 > 0 derart, dass für alle 0 < ε < ε0 jede zulässige Basis von (9.1ε) zum
einen eine nichtdegenerierte Basislösung von (9.1ε) bestimmt und zum anderen eine
zulässige Basis von (9.1) ist. Ferner bestimmt die zu einer optimalen Basislösung
von (9.1ε) gehörige Basis eine optimale Basislösung von (9.1). △
Beweis. P. Kall, „Mathematische Methoden des Operations Research“, Teubner Studienbücher,
Stuttgart, 1976, S. 52–53. ✷
Aufgrund von Satz (9.26) könnte also jedes LP durch Störung in ein nichtentartetes LP
umgewandelt werden, und damit wäre die Konvergenz der Grundversion des Simplexalgorithmus
gewährleistet. In der Praxis wird diese Methode jedoch kaum angewendet, da
das ε0 nicht einfach zu bestimmen ist und der Ansatz mit irgendeiner Zahl ε > 0 nicht
zum Ziele führen muss. Ferner könnten durch eine geringe Störung des Problems durch
Rundungsfehler numerische Schwierigkeiten auftreten, deren Auswirkungen nicht immer
abschätzbar sind.
Wir werden im nächsten Abschnitt andere Methoden zur Vermeidung des Kreiselns
kennenlernen. In der Praxis werden diese häufig jedoch gar nicht implementiert, da bei
praktischen Problemen trotz gelegentlicher Degeneration ein Kreiseln sehr selten beobachtet
wurde. Einer der Gründe dafür dürfte darin zu sehen sein, dass der Computer
durch seine begrenzte Rechengenauigkeit sozusagen „von allein“ eine Störungsmethode
durchführt. So wird bei jedem Auf- oder Abrunden eine kleine Änderung des vorliegenden
Programms vorgenommen, die sich positiv auf die Konvergenzeigenschaften des
Simplexverfahrens auswirkt.
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