finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

9.3 Das Simplexverfahren
Wir führen Schlupfvariablen ein und erhalten das folgende zulässige Anfangstableau.
1 1 −1 0 0 0 0
T0 : 4 4 −2 0 1 0 0 3 s = 1
5 2 0 1 0 1 0 4 r = 1
6 1 3 −2 0 0 1 6
0
5
3 −1 − 1
3 0 0 −1
T1 : 1 1 − 2
3 0 1
3 0 0 1 s = 2
5 0 4
3 1 − 2
3 1 0 2 r = 3
6 0 5 −2 − 1
3 0 1 5
0 0 − 1
11
T2 : 1 1 0 − 4
11
5 0 0 19
11
2 0 1 − 6
11
6 − 33 0 − 5
11
9
2
33 0 11
− 18
33 1 − 4
11
1
3
− 11 0 11
36 − 11
Als Optimallösung ergibt sich somit: x1 = 21
11 , x2 = 15
11 , x3 = 0, mit cT x = 36
11
21
11
2
11
15
11
. △
Über die Grundversion der Simplexmethode können wir die folgende Aussage machen.
(9.24) Satz. Sei (9.1) ein lineares Programm, so dass P = (A, b) = ∅ und alle zulässigen
Basislösungen nicht entartet sind. Dann findet die Grundversion des Simplexalgorithmus
(d. h. alle Schritte, bei denen eine nicht spezifizierte Auswahl besteht, werden in irgendeiner
beliebigen Form ausgeführt) nach endlich vielen Schritten eine optimale Lösung oder
stellt fest, dass das Problem unbeschränkt ist. △
Beweis. Bei jedem Durchlauf des Simplexalgorithmus wird eine neue Basis erzeugt. Da
jede Basislösung nicht entartet ist, hat die neue Basislösung nach (9.16)(c) einen strikt
besseren Zielfunktionswert. Ist AB1 , . . . , ABi , . . . die Folge der mit dem Simplexalgorithmus
generierten Basen, dann folgt daraus, dass keine Basis mehrfach in dieser Folge
auftreten kann. Da die Anzahl der verschiedenen Basen von A endlich ist, ist die Folge
der Basen endlich. Ist ABk die letzte erzeugte Basis, so ist sie entweder optimal oder in
Schritt (II.3) wurde Unbeschränktheit festgestellt. ✷
Besitzt (9.1) degenerierte Ecken, so kann es sein, dass die Grundversion des Simplexverfahrens
irgendwann einmal nur noch zulässige Basen erzeugt, die alle zu derselben
Ecke gehören und bei der die gleichen Matrizen A immer wiederkehren. Man sagt, das
Verfahren kreist oder kreiselt. In der Tat sind Beispiele konstruiert worden, bei denen
dieses Phänomen auftreten kann, siehe (9.25).
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