finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

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9.3 Das Simplexverfahren (Die Transformationsformeln (9.18) sind im wesentlichen die gleichen wie in Satz (9.12), nur dass diesmal die Zielfunktion gleich mittransformiert wird.) △ Beweis. Formel (a): cT − cT TB ′ := B ′A −1 d. h. mit Satz (9.12) gilt (A −1 B ′ = EA −1 B ): TB ′ := B ′ A, −cT −1 B ′A A −1 B ′ A, A −1 B ′ b (c T , 0) − c T B ′E(A −1 B E(TB) {1,...,m}· B ′ b , A, A−1 B b) Sei K := {1, . . . , m}. Aus (TB ′)K· = E(TB)K· ergeben sich die beiden unteren Transfor- z, dann gilt mationsformeln in (a). Sei z ∈ K m und y = A −1 B . c T B ′A−1 B ′ z = c T B ′EA−1 B z = cTB ′Ey = cTBy + (c T B ′η − cpr)yr (mit η aus Satz (9.12)). Mit (9.15) folgt nun c T B ′η − cpr = cs (c T , 0) − c T B ′A−1 ars = (TB)0s . Also gilt: ars B ′ (A, b) = (c T , 0) − c T BA −1 −1 B (A, b) − (TB)0sars(A B (A, b))r· = (TB)0· − (TB)0s (TB)r· ars Die Formeln (b) ergeben sich direkt aus (a). ✷ (9.22) Beispiel. Wir betrachten das lineare Programm max x1 + 2x2 ≤ 4 x1 2x1 + x2 ≤ 10 −x1 + x2 ≤ 5 3x2 ≤ 20 x1, x2 ≥ 0, dessen Lösungsmenge in Abbildung 9.3 graphisch dargestellt ist. Wir führen Schlupfvariablen x3, x4, x5, x6 ein und transformieren unser LP in folgende 175
9 Die Grundversion des Simplex-Algorithmus Form: x2 −x1 + x2 ≤ 5 x1 ≤ 4 3x2 ≤ 20 2x1 + x2 ≤ 10 Abbildung 9.3: Zulässige Menge des LPs aus Beispiel (9.22). . max (1, 2, 0, 0, 0) ⎛ ⎜ ⎝ ⎛ 1 ⎜ 2 ⎝−1 0 0 1 1 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 ⎛ ⎞ 0 ⎜ 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0⎠ ⎜ 1 ⎝ x1 x2 x3 x4 x5 x6 x1 x2 x3 x4 x5 x6 ⎞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ 4 ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜10 ⎟ ⎝ ⎟ 5 ⎠ ⎠ 20 x1 xi ≥ 0 i = 1, . . . , 6. Die Matrix A des Gleichungssystems des transformierten Systems hat 4 Zeilen und 6 Spalten und enthält eine Einheitsmatrix. Folglich hat sie vollen Zeilenrang. Daraus folgt, dass die Spalten 3, 4, 5, 6 eine Basis von A definieren, und diese ist zulässig, da die zugehörige Basislösung x3 = 4, x4 = 10, x5 = 5, x6 = 20, x1 = 0, 176
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Einführung in die Lineare und Komb
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Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 1
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1 Einführung 1.1 Einführendes Bei
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1.1 Einführendes Beispiel muss der
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t 2 ≤ s s ≤ 3 −s + t ≤ 1
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1.2 Optimierungsprobleme wobei u ei
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1.2 Optimierungsprobleme Theorie al
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2 Grundlagen und Notation 2.1 Graph
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2.1 Graphen und Digraphen: Wichtige
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(a) (c) 2.1 Graphen und Digraphen:
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2.2 Lineare Algebra uns auf Q oder
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und meinen damit, dass A die folgen
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2.2 Lineare Algebra wie in der line
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2.3 Polyeder und lineare Programme
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(2.4) Bemerkung. Die Lösungsmenge
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V. Chvátal. Linear Programming. Fr
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3 Diskrete Optimierungsprobleme Die
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3.2 Klassische Fragestellungen der
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(a) (b) 3.2 Klassische Fragestellun
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3.3 Graphentheoretische Optimierung
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• Schaltkreisentwurf • Standort
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Literaturverzeichnis T. L. Gertzen
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4 Komplexitätstheorie und Speicher
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4.1 Probleme, Komplexitätsmaße, L
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4.2 Die Klassen P und N P, N P-Voll
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4 4.3 Datenstrukturen zur Speicheru
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4.3 Datenstrukturen zur Speicherung
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4.3 Datenstrukturen zur Speicherung
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R. E. Tarjan. Data structures and n
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5 Bäume und Wege Der Beweis ist et
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5 Bäume und Wege (2) =⇒ (3) Ist
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5 Bäume und Wege Haben wir einen A
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5 Bäume und Wege Falls T \ {ei} zu
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5 Bäume und Wege /****************
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5 Bäume und Wege THEN w[dope[i]+j]
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5 Bäume und Wege Wie Beispiel (5.1
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5 Bäume und Wege (a) F. Schiller.
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5 Bäume und Wege DISTk(u) die Län
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5 Bäume und Wege VOR(3) = 2. Wir s
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5 Bäume und Wege 4. DO u = 1 TO v
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5 Bäume und Wege Sei nun P ein kü
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5 Bäume und Wege (b) D enthält ge
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5 Bäume und Wege C2 C1 s 4 C3 C4 2
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5 Bäume und Wege ders vorgehen: z.
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5 Bäume und Wege ist ein System vo
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5 Bäume und Wege heißt (allgemein
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5 Bäume und Wege Um lästige Trivi
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Literaturverzeichnis A. Goldberg. P
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6 Maximale Flüsse in Netzwerken Al
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6 Maximale Flüsse in Netzwerken de
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6 Maximale Flüsse in Netzwerken s
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