finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

9.2 Basisaustausch (Pivoting), Simplexkriterium
(b) Sei y ∈ P = (A, b) beliebig. Wenn wir zeigen können, dass c T x ≥ c T y gilt, sind wir
fertig.
c T y = c T BA −1
B b + cT
≤0
yN
≥0
≤ c T BA −1
B b = cT BxB = c T x.
(c) Sei die Basislösung x mit xB = A −1
B b, xN = 0 optimal. Dann gilt für alle y ∈
P = (A, b):
c T x ≥ c T y ⇐⇒ c T BA −1
B b + cT xN ≥ c T BA −1
B b + cT yN
⇐⇒ 0 ≥ c T yN.
Angenommen die i-te Komponente ci von c T wäre größer als Null. Nach Vorausset-
zung ist x nichtdegeneriert, also A −1
B b > 0. Sei ei der i-te Einheitsvektor in K n−m ,
dann gibt es somit ein λ > 0 mit
Der Vektor x λ mit x λ B
Vektor, und es gilt
A −1
B b ≥ A−1
B ANλei.
= A−1
B b−A−1
B ANλei, xN = λei ist somit ein für (9.1) zulässiger
c T x λ = c T BA −1
B b + cT λei = c T x + λci > c T x.
Widerspruch! ✷
Aus Satz (9.12) wissen wir, wie ein Basis- bzw. Eckenaustausch vorgenommen werden
kann, Satz (9.15) besagt, unter welchen Umständen wir eine zulässige Basis verbessern
können, bzw. wann sie optimal ist. Setzen wir diese Informationen zusammen, so gilt:
(9.16) Satz (Basisverbesserung). Gegeben sei ein lineares Programm in Standardform
(9.1). Sei AB eine zulässige Basis mit Basislösung x. Sei A = A −1
B AN, b = A −1
B b,
und c T = c T N − cT B A−1
B AN seien die reduzierten Kosten. Sei qs ∈ N ein Index mit cs > 0,
dann gilt
(a) Ist A·s ≤ 0, dann ist c T x auf P = (A, b) unbeschränkt.
(b) Ist A·s ≤ 0, dann setzen wir
und wählen einen Index
bi
λ0 := min
ais
r ∈
| i = 1, . . . , m, ais > 0 ,
i ∈ {1, . . . , m} | bi
ais
= λ0
Dann ist AB ′ mit B′ = (p1, . . . , pr−1, qs, pr+1, . . . , pm) eine zulässige Basis mit Basislösung
x ′ , so dass c T x ′ ≥ c T x gilt.
.
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