finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB
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9 Die Grundversion <strong>des</strong> Simplex-Algorithmus<br />
und<br />
A −1<br />
B ′ A = EA −1<br />
⎛<br />
1 −2 0 0 −5 2<br />
⎞<br />
0<br />
⎜<br />
B A = ⎜0<br />
⎝0<br />
1<br />
2<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
3<br />
2<br />
−1<br />
0<br />
1<br />
1 ⎟<br />
0⎠<br />
−1 0<br />
, A′ ⎛<br />
−5 2<br />
⎞<br />
−2<br />
⎜ 3<br />
= ⎜ 2<br />
⎝−1<br />
0<br />
1<br />
1 ⎟<br />
2 ⎟<br />
0 ⎠ .<br />
1<br />
7<br />
0 2 0 1 2<br />
7<br />
2 −1 1<br />
2<br />
Die zugehörige Basislösung ist x T B ′ = (−3, 1, 3, 5), x T N ′ = (0, 0, 0), daraus ergibt sich<br />
x T = (−3, 0, 3, 5, 0, 0, 1). △<br />
(9.14) Bemerkung. Die neue Basisinverse A −1<br />
B ′ kann also wegen A −1<br />
B ′ = EA −1<br />
B leicht<br />
aus A −1<br />
B berechnet werden. Tatsächlich ist jedoch dieses „Pivoting“ der numerisch aufwendigste<br />
und schwierigste Schritt im Simplexverfahren. Es gibt hier zahllose „Update“-<br />
Varianten, durch die eine schnelle und numerisch stabile Berechnung von A −1<br />
B ′ erreicht<br />
werden soll. Insbesondere für große und dünn besetzte Matrizen (n, m ≥ 100000) (largescale-linear-programming)<br />
gibt es spezielle Techniken. △<br />
Die äquivalente Darstellung <strong>des</strong> Gleichungssystems Ax = b in Bemerkung (9.11) gibt<br />
uns ebenso die Möglichkeit, die Kosten auf einfache Weise über die Nichtbasisvariablen<br />
zu berechnen, woraus sich ein sehr einfaches Optimalitätskriterium gewinnen lässt.<br />
(9.15) Satz. Gegeben sei ein lineares Programm in Standardform (9.1), und AB sei<br />
eine Basis von A.<br />
(a) Für den Zielfunktionswert c T x von x ∈ P = (A, b) gilt<br />
c T x = c T BA −1<br />
B b + (cT N − c T BA −1<br />
B AN)xN.<br />
Der Term c T := c T N − cT B A−1<br />
B AN heißt reduzierte Kosten (von x), die Komponenten<br />
ci von c heißen reduzierte Kostenkoeffizienten.<br />
(b) (Simplexkriterium)<br />
Ist AB eine zulässige Basis und sind die reduzierten Kosten nicht-positiv, d. h.<br />
c T = c T N − c T BA −1<br />
B AN ≤ 0,<br />
dann ist die zugehörige Basislösung x mit xB = A −1<br />
B b, xN = 0 optimal für (9.1).<br />
(c) Ist AB eine zulässige Basis, und ist die zugehörige Basislösung nichtdegeneriert und<br />
optimal, dann gilt c ≤ 0. △<br />
Beweis. (a) Nach Satz (9.11) gilt Ax = b ⇐⇒ xB = A −1<br />
B b − A−1<br />
B ANxN und damit gilt<br />
168<br />
c T x = c T BxB + c T NxN = c T B(A −1<br />
B b − A−1<br />
B ANxN) + c T NxN<br />
= c T BA −1<br />
B b + (cT N − c T BA −1<br />
B AN)xN.