finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

9 Die Grundversion des Simplex-Algorithmus
setzen
A := A −1
B AN = (ars) 1≤r≤m ,
1≤s≤n−m
b := A −1
B b ∈ Km .
Ist ars = 0, so ist AB ′ mit B′ := (p1, . . . , pr−1, qs, pr+1, . . . , pm) eine Basis von A. Ferner
gilt:
A −1
B ′ = EA −1
B ,
wobei E eine sogenannte (m, m)-Elementarmatrix ist, die wie folgt definiert ist:
⎛
⎜
E = ⎜
⎝
1 η1
. ..
.
1ηr−1
ηr
ηr+11
Dabei ist die r-te Spalte von E der Vektor η = (η1, . . . , ηm) T (genannt Eta-Spalte) gegeben
durch
ηr := 1
ars
ηi := − ais
ars
.
ηm
. ..
1
⎞
⎟ .
⎟
⎠
i ∈ {1, . . . , m} \ {r}.
Das Element ars heißt Pivot-Element.
Sind x, x ′ die zu AB, A ′ B gehörigen Basislösungen, so gilt:
x ′ pi = bi − ais
br = Ei·b = Ei·xB, 1 ≤ i ≤ m, i = r (alte Basisvariablen)
ars
x ′ qs =
1
br (= Er·br = Er·xB)
ars
(neue Basisvariable)
x ′ j = 0 andernfalls (Nichtbasisvariablen). △
Beweis. Es seien
d := A·qs, d := A −1
B d = A·s, F := A −1
B
AB ′.
AB ′ erhält man aus AB dadurch, dass die r-te Spalte A·pr von AB durch d ersetzt wird.
F ist daher eine (m, m)-Elementarmatrix, deren r-te Spalte der Vektor d ist. Offenbar
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