finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB
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9 Die Grundversion <strong>des</strong> Simplex-Algorithmus<br />
setzen<br />
A := A −1<br />
B AN = (ars) 1≤r≤m ,<br />
1≤s≤n−m<br />
b := A −1<br />
B b ∈ Km .<br />
Ist ars = 0, so ist AB ′ mit B′ := (p1, . . . , pr−1, qs, pr+1, . . . , pm) eine Basis von A. Ferner<br />
gilt:<br />
A −1<br />
B ′ = EA −1<br />
B ,<br />
wobei E eine sogenannte (m, m)-Elementarmatrix ist, die wie folgt definiert ist:<br />
⎛<br />
⎜<br />
E = ⎜<br />
⎝<br />
1 η1<br />
. ..<br />
.<br />
1ηr−1<br />
ηr<br />
ηr+11<br />
Dabei ist die r-te Spalte von E der Vektor η = (η1, . . . , ηm) T (genannt Eta-Spalte) gegeben<br />
durch<br />
ηr := 1<br />
ars<br />
ηi := − ais<br />
ars<br />
.<br />
ηm<br />
. ..<br />
1<br />
⎞<br />
⎟ .<br />
⎟<br />
⎠<br />
i ∈ {1, . . . , m} \ {r}.<br />
Das Element ars heißt Pivot-Element.<br />
Sind x, x ′ die zu AB, A ′ B gehörigen Basislösungen, so gilt:<br />
x ′ pi = bi − ais<br />
br = Ei·b = Ei·xB, 1 ≤ i ≤ m, i = r (alte Basisvariablen)<br />
ars<br />
x ′ qs =<br />
1<br />
br (= Er·br = Er·xB)<br />
ars<br />
(neue Basisvariable)<br />
x ′ j = 0 andernfalls (Nichtbasisvariablen). △<br />
Beweis. Es seien<br />
d := A·qs, d := A −1<br />
B d = A·s, F := A −1<br />
B<br />
AB ′.<br />
AB ′ erhält man aus AB dadurch, dass die r-te Spalte A·pr von AB durch d ersetzt wird.<br />
F ist daher eine (m, m)-Elementarmatrix, deren r-te Spalte der Vektor d ist. Offenbar<br />
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