finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB
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9 Die Grundversion <strong>des</strong> Simplex-Algorithmus<br />
mit J ⊆ {1, . . . , n} betrachten (und prüfen, ob die Lösungen in P = (A, b) enthalten sind).<br />
Dabei kann es zu folgenden Situationen kommen: Ist AB eine Basis von A mit (A −1<br />
B b)i = 0<br />
für alle i ∈ B, so gibt es nur eine einzige Möglichkeit das System Ay = b durch ein<br />
System eT j y = 0, j ∈ J, so zu ergänzen, dass das Gesamtsystem regulär wird. Man muss<br />
J = {1, . . . , n} \ B wählen, andernfalls sind nicht genügend Gleichungen vorhanden.<br />
Daraus folgt speziell:<br />
(9.9) Bemerkung. Ist x eine nichtdegenerierte Basislösung von Ay = b, y ≥ 0, dann<br />
gibt es eine eindeutig bestimmte zu x gehörige Basis AB von A (xB = A −1<br />
B b, xN = 0).△<br />
Die Umkehrung gilt i. A. nicht, wie das folgende Beispiel zeigt.<br />
(9.10) Beispiel. P = (A, b) ⊆ R 3 sei gegeben durch<br />
A =<br />
<br />
1 1 0<br />
, b =<br />
0 0 1<br />
<br />
1<br />
.<br />
0<br />
Die Matrix A besitzt zwei Basen AB1 , AB2 mit B1 = (1, 3), B2 = (2, 3). Die zu AB1<br />
gehörige Basislösung ist xT 1 = (1, 0, 0), die zu AB2 gehörige Basislösung ist xT2 = (0, 1, 0).<br />
Beide Basislösungen sind entartet, aber die zugehörigen Basen sind eindeutig bestimmt.△<br />
Ist AB eine Basis von A und x die zugehörige Basislösung, so dass einige Komponenten<br />
von A −1<br />
b Null sind (d. h. x ist entartet), so enthält das Gleichungssystem Ay = b,<br />
B<br />
eT j y = 0 für alle j ∈ J = {j | xj = 0} mehr als n Gleichungen (also mehr als notwendig).<br />
I. A. ist dann x Lösung von mehreren regulären (n, n)-Untersystemen dieses<br />
Gleichungssystems. Man hat also keine eindeutige Zuordnung mehr von der Ecke x zu<br />
einem Gleichungssystem der Form Ay = b, eT j y = 0 j ∈ J. Wir werden sehen, dass<br />
Entartung zu rechentechnischen Problemen führt. Entartung kann drei Ursachen haben:<br />
• überflüssige Variable (im Beispiel (9.10) kann x3 weggelassen werden, dann sind<br />
alle Basislösungen nichtentartet),<br />
• redundante Ungleichungen (Beispiel (9.6)(a)),<br />
• geometrische Gründe (Beispiele (9.6)(b) und (9.6)(c)).<br />
Die durch überflüssige Variablen oder redundante Ungleichungen hervorgerufene Entartung<br />
kann i. A. beseitigt werden durch Weglassen der überflüssigen Variablen bzw. der<br />
redundanten Ungleichungen. Es gibt jedoch Polyeder — wie z. B. die Doppelpyramide<br />
in (9.6)(c) — die genuin entartet sind. Der Grund liegt hier darin, dass die Ecken überbestimmt<br />
sind, d. h. es gibt Ecken x von P , in denen mehr als dim(P ) Facetten zusammentreffen.<br />
Dann bestimmen je dim(P ) der diese Facetten definierenden Ungleichungen<br />
eine Basis von A, die x als zugehörige Basislösung liefert. Die linearen Programme, die<br />
als Relaxierungen von kombinatorischen Optimierungsproblemen entstehen, haben sehr<br />
häufig stark entartete Ecken, d. h. Basislösungen mit sehr vielen verschiedenen Basen,<br />
die diese Ecke bestimmen.<br />
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