9.1 Basen, Basislösungen, Entartung Die oben eingeführten Begriffe gehören zur Standardterminologie der linearen Programmierung. Eine erste begriffliche Brücke zur Polyedertheorie schlägt der nächste Satz. (9.5) Satz. Seien P = P = (A, b) ⊆ K n ein Polyeder mit rang(A) = m < n und x ∈ P . Dann sind äquivalent (1) x ist eine Ecke von P = (A, b). (2) x ist eine zulässige Basislösung (d. h. es gibt eine Basis AB von A mit der Eigenschaft xB = A −1 B b ≥ 0 und xN = 0). △ Beweis. (1) =⇒ (2) Sei I := supp(x). Ist x eine Ecke von P = (A, b), so sind die Spaltenvektoren A·j, j ∈ I, nach (8.9) linear unabhängig. Wegen rang(A) = m gibt es eine Menge J ⊆ {1, . . . , n} \ I, |J| = m − |I|, so dass die Spalten A·j, j ∈ I ∪ J, linear unabhängig sind. Folglich ist AB mit B = I ∪J eine Basis von A. Nehmen wir o. B. d. A. an, dass B aus den ersten m Spalten von A besteht, also A = (AB, AN) mit N = {m + 1, . . . , n} gilt, dann erhalten wir aus xT = (xT B , xT N ) = (xT B , 0) folgen<strong>des</strong>: A −1 B b = A−1 B (Ax) = A−1 B (AB, AN) xB −1 0 = (I, AB AN) xB 0 = xB. Da x ≥ 0 gilt, ist x eine zulässige Basislösung. (2) =⇒ (1) folgt direkt aus (8.9). ✷ Damit sehen wir, dass Ecken von P = (A, b) zulässsigen Basislösungen von Ax = b, x ≥ 0 entsprechen. Also gibt es zu jeder Ecke eine zulässige Basis von A. Sind zwei Ecken verschieden, so sind natürlich die zugehörigen Basen verschieden. Dies gilt aber nicht umgekehrt! Ecke eindeutig ←→ zulässige Basislösung nichteindeutig ←→ zulässige Basis. Wir wollen nun Entartung und ihre Ursachen untersuchen und betrachten zunächst drei Beispiele. (9.6) Beispiel (Degeneration). (a) Im K 2 gibt es keine „richtigen“ degenerierten Probleme, da man solche Probleme durch Entfernung von redundanten Ungleichungen nichtdegeneriert machen kann. Im folgenden Beispiel ist die Ungleichung 2x1 + x2 ≤ 2 redundant. x1 + x2 ≤ 1 2x1 + x2 ≤ 2 x1, x2 ≥ 0 (9.7) Das durch das Ungleichungssystem definierte Polyeder (siehe Abbildung 9.1(a)) hat die drei Ecken E1, E2, E3. Wir formen durch Einführung von Schlupfvariablen um: x1 + x2 + s1 = 1 2x1 + x2 + s2 = 2 x1, x2, s1, s2 ≥ 0. 161
9 Die Grundversion <strong>des</strong> Simplex-Algorithmus 162 E 3 x 2 E 4 E 2 E 1 x 1 (a) Grafische Darstellung der Ungleichungen (9.7). Spalten AB xB xN x Ecke in B 1,2 1,3 1,4 2,3 2,4 3,4 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 (x1, x2) = (1, 0) (x1, s1) = (1, 0) (x1, s2) = (1, 0) (x2, s1) = (2, −1) (x2, s2) = (1, 1) (s1, s2) = (1, 2) (s1, s2) (x2, s2) (x2, s1) (x1, s2) (x1, s1) (x1, x2) (1, 0, 0, 0) (1, 0, 0, 0) (1, 0, 0, 0) (0, 2, −1, 0) (0, 1, 0, 1) (0, 0, 1, 2) E1 E1 E1 E4 E3 E2 (b) Übersicht der Basen <strong>des</strong> Gleichungssystems (9.8). Abbildung 9.1: Beispiel für Degeneration im R 2 .
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Einführung in die Lineare und Komb
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Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 1
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1 Einführung 1.1 Einführendes Bei
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t 2 ≤ s s ≤ 3 −s + t ≤ 1
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1.2 Optimierungsprobleme wobei u ei
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2 Grundlagen und Notation 2.1 Graph
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(a) (c) 2.1 Graphen und Digraphen:
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und meinen damit, dass A die folgen
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2.3 Polyeder und lineare Programme
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V. Chvátal. Linear Programming. Fr
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3 Diskrete Optimierungsprobleme Die
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4 4.3 Datenstrukturen zur Speicheru
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R. E. Tarjan. Data structures and n
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5 Bäume und Wege Der Beweis ist et
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5 Bäume und Wege THEN w[dope[i]+j]
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