finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

9 Die Grundversion des Simplex-Algorithmus
Wir werden später zeigen, dass lineare Programme, bei denen die Voraussetzungen (9.2)
nicht gegeben sind, auf solche zurückgeführt werden können, die diese erfüllen, dass also
alle Voraussetzungen (9.2) o. B. d. A. gemacht werden können.
Um die weitere Darstellung schreibtechnisch zu vereinfachen, legen wir für dieses Kapitel
folgendes fest (vergleiche Abschnitt 2.2):
(9.3) Konventionen in Kapitel 9. Es sei A ∈ K (m,n) , wobei nach (9.2) m < n gelten
soll.
(a) Mit {1, . . . , m} bezeichnen wir die Zeilenindexmenge von A, mit {1, . . . , n} die Spaltenindexmenge.
(b) B und N bezeichnen stets Spaltenindexvektoren von A, wobei B = (p1, . . . , pm) ∈
{1, . . . , n} m und N = (q1, . . . , qn−m) ∈ {1, . . . , n} n−m gilt. Ferner kommt kein Spaltenindex,
der in B vorkommt, auch in N vor, und umgekehrt. (Um Transpositionszeichen
zu sparen, schreiben wir B und N immer als Zeilenvektoren.)
(c) Wir werden aber B und N auch einfach als Mengen auffassen (wenn die Anordnung
der Indizes keine Rolle spielt), dann gilt also nach (b) B ∩N = ∅, B ∪N = {1, . . . , n}.
Insbesondere können wir dann i ∈ B und j ∈ N schreiben.
(d) Zur schreibtechnischen Vereinfachung schreiben wir im folgenden AB und AN statt
A·B und A·N.
(e) Ist ein Spaltenindexvektor B wie oben angegeben definiert, so bezeichnet, falls nicht
anders spezifiziert, N = (q1, . . . , qn−m) immer den Spaltenindexvektor, der alle übrigen
Spaltenindizes enthält, wobei qi < qj für i < j gilt. △
9.1 Basen, Basislösungen, Entartung
(9.4) Definition. Gegeben sei ein Gleichungssystem Ax = b mit A ∈ K (m,n) , b ∈ K m
und rang(A) = m. Spaltenindexvektoren B und N seien entsprechend Konvention (9.3)
gegeben.
(a) Ist AB regulär, so heißt AB Basismatrix oder kurz Basis von A, und AN heißt Nicht-
basismatrix oder Nichtbasis von A. Der Vektor x ∈ K n mit xN = 0 und xB = A −1
B b
heißt Basislösung von Ax = b zur Basis AB oder die zu AB gehörige Basislösung
oder kurz Basislösung.
(b) Ist AB eine Basis, dann heißen die Variablen xj, j ∈ B, Basisvariable und die
Variablen xj, j ∈ N, Nichtbasisvariable.
(c) Ist AB eine Basis, dann heißen AB und die zugehörige Basislösung xB zulässig (be-
b ≥ 0 gilt.
züglich P = (A, b)), wenn xB = A −1
B
(d) Eine Basislösung x zur Basis AB heißt nichtentartet (oder nichtdegeneriert), falls
b > 0, andernfalls heißt sie entartet (oder degeneriert). △
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xB = A −1
B