finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

(8.12) Folgerung. Sei P = P = (A, b) ⊆ K n , dann gilt
P = ∅ ⇐⇒ P spitz. △
⎛ ⎞
A
⎛ ⎞
b
Beweis. Es ist P = P (D, d) mit D = ⎝−A⎠,
d = ⎝−b⎠,
und offenbar hat D den
−I
0
Rang n. Aus Satz (8.11) folgt dann die Behauptung. ✷
(8.13) Folgerung. Sei P ⊆ K n ein Polytop, dann gilt
P = ∅ ⇐⇒ P spitz. △
Beweis. Da P beschränkt ist, gibt es einen Vektor u mit P ⊆ {x | x ≤ u}. Gilt
P = P (A, b), so folgt daraus P = P (D, d) mit D = A
b
I , d = u . D hat den Rang n,
daraus folgt mit (8.11) die Behauptung. ✷
(8.14) Folgerung. Das Polyeder P sei spitz, und das lineare Programm max c T x, x ∈ P
habe eine Optimallösung, dann hat dieses lineare Programm auch eine optimale Lösung,
die eine Ecke von P ist (eine sogenannte optimale Ecklösung). △
Beweis. F = {x ∈ P | c T x = max{c T y | y ∈ P }} ist eine nichtleere Seitenfläche von P ,
die nach Satz (8.11) eine Ecke hat. ✷
(8.15) Folgerung. Ist P ein nichtleeres Polytop, dann hat jedes lineare Programm
max c T x, x ∈ P eine optimale Ecklösung. △
Das folgende Korollar wird sich als sehr wichtig erweisen.
(8.16) Folgerung. Lineare Programme der Form
max c T x
Ax = b
x ≥
oder
max c T x
Ax ≤ b
x ≥ 0
besitzen genau dann eine endliche Optimallösung, wenn sie eine optimale Ecklösung besitzen.
△
Beweis. Nach (8.12) ist P = (A, b) spitz (falls nicht leer) und somit hat das erste der
obigen LPs nach (8.14) eine optimale Ecklösung, falls es überhaupt eine optimale Lösung
hat. Analog folgt die Behauptung für das zweite LP. ✷
Wir beenden diesen kurzen Einblick in die Polyedertheorie mit einer interessanten
Beobachtung. Wir haben bereits gesehen (Satz (8.8)), dass sich Ecken eines Polyeders P =
P (A, b) ⊆ K n als Lösungsmenge eines Systems von n Gleichungen des Systems Ax = b
darstellen lassen. Abstrakter gesagt bilden jede Ecken eines spitzen Polyeders P einen
affinen Raum. Dies gilt allgemein für die „kleinsten“ Seitenflächen eines (nicht notwendig
spitzen) Polyeders.
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