finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

8 Grundlagen der Polyedertheorie
gilt nun:
x Ecke von P = (A, b) ⇐⇒ x Ecke von P (D, d)
⇐⇒ rang(Deq({x})·) = n
⎛ ⎞
A
⇐⇒ rang ⎝−A⎠
= n mit J = {j | xj = 0}
A· supp(x)
(Streichen der Spalten j ∈ J) ⇐⇒ rang
−A · supp(x)
IJ·
= {1, . . . , n} \ supp(x)
= n − |J| = | supp(x)|
⇐⇒ rang(A · supp(x)) = | supp(x)|. ✷
Nicht alle Polyeder haben Ecken; z. B. haben die Polyeder, die als Durchschnitt von
weniger als n Halbräumen des K n entstehen, keine Ecken. Polyeder mit Ecken sind besonders
für die lineare Optimierung wichtig.
(8.10) Definition. Ein Polyeder heißt spitz, wenn es eine Ecke besitzt. △
Der folgende Satz liefert eine algebraische Charakterisierung spitzer Polyeder.
(8.11) Satz. Sei P = P (A, b) ⊆ K n ein nichtleeres Polyeder, dann sind äquivalent:
(a) P ist spitz.
(b) rang(A) = n.
(c) Jede nichtleere Seitenfläche von P ist spitz. △
Beweis. (a) =⇒ (b): Ist x eine Ecke von P , so gilt nach (8.8) n = rang(A eq({x})·) ≤
rang(A) ≤ n, also rang(A) = n.
(b) =⇒ (a): Sei x ∈ P so gewählt, dass I := eq({x}) maximal bezüglich Mengeninklusion
ist. Sei F = {y ∈ P | AI·y = bI}. Ist rang(AI·) < n, dann enthält der Kern von
AI· einen Vektor y = 0. Wie im Beweis von Satz (8.8) gibt es dann ein ε > 0, so
dass x ± εy ∈ P . Die Gerade G = {x + λy | λ ∈ K} trifft mindestens eine der
Hyperebenen Hj = {z | Aj·z = bj}, j /∈ I, da rang(A) > rang(AI·). Also muss es
ein δ ∈ K geben, so dass x + δy ∈ P und eq({x + δy}) ⊃ I. Dies widerspricht der
Maximalität von I.
(c) =⇒ (a): Trivial, da P eine Seitenfläche von sich selbst ist.
(b) =⇒ (c): Für jede nichtleere Seitenfläche F von P gilt
156
F = {x ∈ K n | Ax ≤ b, A eq(F )·x ≤ b eq(F ), −A eq(F )·x ≤ −b eq(F )}.
Aus (b) und der Äquivalenz von (b) und (a) angewandt auf F folgt damit direkt,
dass F spitz ist. ✷