finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

(a) =⇒ (d): Nach Definition ist {x} eine Seitenfläche, also existiert eine bezüglich P
gültige Ungleichung c T y ≤ γ, so dass {y ∈ P | c T y = γ} = {x} gilt. Folglich ist x
die eindeutig bestimmte Optimallösung von max c T y, y ∈ P . Ist P = {x}, so ist
nach (8.4)(c) c = 0, andernfalls kann c = 0 gewählt werden.
(d) =⇒ (c): Sei x die eindeutige Optimallösung des linearen Programms max c T y, y ∈ P
für ein c ∈ K n \ {0}. Wir nehmen rang(A eq({x})·) < n an und betrachten die
durch I := eq({x}) induzierte Seitenfläche F = fa(I). Dann gibt es ein y = 0
im Kern der Untermatrix AI· von A. Für J := {1, . . . , m} \ I gilt nach Definition
von eq({x}) und wegen der Zulässigkeit von x die strikte Ungleichung AJ·x < bJ.
Für genügend kleines ɛ > 0 folgt daher x ± ɛy ∈ F , weil einerseits AI·(x ± ɛy) =
bI und andererseits AJ·(x ± ɛy) < bJ gilt. Nun hat entweder einer der beiden
Punkte x ± ɛy einen besseren Zielfunktionswert als x oder beide Punkte haben
denselben Zielfunktionswert wie x. In beiden Fällen ergibt sich ein Widerspruch,
es muss also rang(A eq({x})·) = n gelten.
(c) =⇒ (b): Sei I = eq({x}), dann hat AI·y = bI nach Voraussetzung eine eindeutig
bestimmte Lösung, nämlich x. Daraus folgt F = {y ∈ P | AI·y = bI} = {x}, also
ist {x} eine nulldimensionale Seitenfläche. ✷
Für Polyeder der Form P = (A, b) = {x ∈ K n | Ax = b, x ≥ 0} gibt es eine weitere
nützliche Kennzeichnung der Ecken. Ist x ∈ K n , so setzen wir
supp(x) := {i ∈ {1, . . . , n} | xi = 0}.
Die Indexmenge supp(x) heißt Träger von x.
(8.9) Satz. Für x ∈ P = (A, b) ⊆ K n sind folgende Aussagen äquivalent:
(a) x ist Ecke von P = (A, b).
(b) rang(A · supp(x)) = | supp(x)|.
(c) Die Spaltenvektoren A·j, j ∈ supp(x), sind linear unabhängig. △
Beweis. (b) ⇐⇒ (c): Trivial.
⎛ ⎞
A
⎛ ⎞
b
(a) ⇐⇒ (b): Sei D = ⎝−A⎠,
d = ⎝−b⎠,
dann gilt P (D, d) = P
−I 0
= (A, b). Mit Satz (8.8)
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