finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

8 Grundlagen der Polyedertheorie
Offenbar ist fa(I) tatsächlich eine Seitenfläche von P = P (A, b), denn setzen wir cT
:=
gilt
i∈I Ai·, γ :=
i∈I bi, so ist cT x ≤ γ gültig bezüglich P (A, b), und, wie man leicht sieht,
fa(I) = {x ∈ P | c T x = γ}.
Zur Veranschaulichung der oben definierten Abbildungen fa und eq betrachten wir Beispiel
(8.3). Für das in (8.3) definierte Polyeder P (A, b) gilt M = {1, 2, 3, 4} und
fa({1, 2}) = G,
0
eq
= {1, 3}.
2
Für die lineare Optimierung sind vor allem niedrigdimensionale Seitenflächen relevant,
über die gewissermaßen der „Rand“ aller höherdimensionalen Seitenflächen und damit
auch des Polyeders P beschrieben werden kann.
(8.7) Definition. Es seien P ⊆ K n ein Polyeder und F eine Seitenfläche von P . Gibt
es x ∈ K n und 0 = z ∈ K n mit
⎧
⎨
⎩
F = {x}
F = x + lin({z})
F = x + cone({z})
⎫
⎬
, so heißt F
⎭
⎧
⎨
⎩
Ecke
Extremallinie
Extremalstrahl
Ist F = {x} eine Ecke von P , so sagen wir einfach „x ist eine Ecke von P “. Wir werden
uns im weiteren insbesondere für Ecken interessieren und sie charakterisieren. Offenbar
sind Ecken Seitenflächen der Dimension 0, während Extremallinien und Extremalstrahlen
Seitenflächen der Dimension 1 sind. Allgemein heißen Seitenflächen der Dimension 1
Kanten. Kanten sind entweder Extremallinien, Extremalstrahlen oder Verbindungsstrecken
zwischen zwei Ecken. Sind zwei Ecken x, y eines Polyeders P durch eine Kante
verbunden, d. h. conv({x, y}) ist eine Seitenfläche von P , so nennt man x und y adjazent
auf P .
(8.8) Satz. Seien P = P (A, b) ⊆ K n ein Polyeder und x ∈ P . Dann sind die folgenden
Aussagen äquivalent:
(a) x ist eine Ecke von P .
(b) {x} ist eine nulldimensionale Seitenfläche von P .
(c) rang(A eq({x})·) = n.
(d) ∃ c ∈ K n \ {0}, so dass x die eindeutig bestimmte Optimallösung des linearen Programms
max c T y, y ∈ P ist. △
Beweis. (a) ⇐⇒ (b): Definition!
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⎫
⎬
⎭ .
△