finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB
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8 Grundlagen der Polyedertheorie<br />
F<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111<br />
000000<br />
111111 0<br />
00 11 2<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11<br />
00 11 1 01<br />
00 11 01<br />
00 11 01<br />
00 11 P(A,b)<br />
01<br />
00 11 01<br />
00 11 1<br />
G<br />
1 2<br />
Abbildung 8.1: Polyeder aus Beispiel (8.3).<br />
Offenbar sind Seitenflächen von Polyedern wiederum Polyeder. Eine Seitenfläche F<br />
kann durchaus von verschiedenen Ungleichungen definiert werden. Trivialerweise gilt F =<br />
P ∩ {x | c T x = γ} = P ∩ {x | λc T x = λγ} für alle λ > 0, aber auch zwei Ungleichungen,<br />
die nicht durch Skalierung auseinander hervorgehen, können F definieren.<br />
(8.3) Beispiel. Sei P (A, b) ⊆ K2 das durch<br />
⎛<br />
1<br />
⎞<br />
1<br />
⎛ ⎞<br />
2<br />
⎜<br />
A = ⎜ 1<br />
⎝−1<br />
0 ⎟<br />
0 ⎠ ,<br />
⎜<br />
b = ⎜1<br />
⎟<br />
⎝0⎠<br />
0 −1<br />
0<br />
definierte Polyeder (siehe Abbildung 8.1), dann ist das Geradenstück zwischen (1, 1) T<br />
und (0, 2) T eine Seitenfläche F definiert durch x1 + x2 ≤ 2. Die Menge G = {(1, 1) T } ist<br />
ebenfalls eine Seitenfläche von P , denn<br />
G = P (A, b) ∩ {x | 2x1 + x2 = 3}<br />
= P (A, b) ∩ {x | 3x1 + x2 = 4},<br />
und, wie man sieht, kann { 1<br />
1 } durch zwei völlig unterschiedliche Ungleichungen definiert<br />
werden. △<br />
(8.4) Folgerung. Sei P ⊆ K n ein Polyeder, dann gilt:<br />
(a) P ist eine Seitenfläche von sich selbst.<br />
(b) ∅ ist eine Seitenfläche von P .<br />
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