finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

7.3 Der Netzwerk-Simplex-Algorithmus
Algorithmus (7.29) muss nicht terminieren, da es möglich ist, dass Bögen in T existieren,
die bereits ihre untere oder obere Kapazitätsschranke erreicht haben. Es gilt dann
ε = 0 in Gleichung (7.18) und durch den Tausch der Bögen e und f ändert sich zwar die
Baumlösung, jedoch weder der Fluss x noch der Zielfunktionswert. Ohne entsprechende
Maßnahmen kann es tatsächlich zu Cycling kommen, d. h. nach einer endlichen Zahl
solcher Schritte werden dieselben Bögen erneut getauscht und der Algorithmus gerät in
eine Endlosschleife.
Um Cycling zu vermeiden, muss man den Bogen f, der den Baum T verlässt, sorgfältig
auswählen. Wir nennen eine Baumlösung (x, T, L, U) degeneriert, falls ein Bogen a ∈ T
mit xa = la oder xa = ua existiert. Außerdem wählen wir einen festen Knoten r ∈ V , der
im Folgenden als Wurzel aller Spannbäume T fungieren wird.
(7.31) Definition. Eine Baumlösung (x, T, L, U) heißt stark zulässig, wenn für jeden
Knoten i = r der eindeutige [i, r]-Weg P in T ein augmentierender Weg für x ist, d. h.
wenn für alle Bögen a ∈ P gilt: la < xa, falls a ein Rückwärtsbögen und xa < ua,
falls a ein Vorwärtsbogen ist. Insbesondere ist jede nicht degenerierte Baumlösung stark
zulässig. △
Es ist leicht zu sehen, dass bei der Wahl r = k die Start-Baumlösung mit (T, L, U) =
(A ′ \ A, A, ∅) für I ′ nicht degeneriert und daher stark zulässig ist.
Sei e der im Pricing-Schritt gewählte Bogen und C der Kreis in T + e. Als Orientierung
für C wählen wir die Richtung von e, falls e ∈ L und die entgegengesetzte Richtung,
falls e ∈ U (der Grund für diese Abweichung von Algorithmus (7.29) wird im Beweis von
Satz (7.37) klar). Ein Bogen in C − e heißt blockierend, wenn er nach dem Augmentieren
eine Kapazitätsgrenze erreicht. Außerdem nennen wir den eindeutigen Knoten von C,
der r in T am nächsten ist, den Scheitel von C. Wenn nun der Bogen f ∈ C im Augmentieren-Schritt
nach der folgenden Regel gewählt wird, ist die resultierende Baumlösung
wieder stark zulässig.
(7.32) Regel des letzten blockierenden Bogens. Durchlaufe C beginnend beim
Scheitel s in der Orientierung von C und wähle f als letzten blockierenden Bogen. △
(7.33) Satz. Sei (x, T, L, U) eine stark zulässige Baumlösung und e /∈ T der im Pricing-Schritt
gewählte Bogen. Wenn im Augmentieren-Schritt der Bogen f gemäß (7.32)
gewählt wird, so ist die neue Baumlösung nach dem Update-Schritt stark zulässig. △
Beweis. Sei x ′ der Fluss nach dem Augmentieren-Schritt. Wir müssen zeigen, dass für
jeden Knoten i = r der [i, r]-Weg in T ′ := (T − f) + e bezüglich x ′ augmentierend ist.
Dazu zerlegen wir den Kreis C in T + e in einen Weg W , der beim Scheitel s beginnt
und C in Orientierungsrichtung durchläuft, den Bogen f, und einen Weg W ′ , der in s
endet, also C = (W, f, W ′ ) (siehe Abbildung 7.2).
1. Fall: i ist der Scheitel s von C. In T und T ′ ist i auf demselben [i, r]-Weg P mit r
verbunden. Für einen Bogen a ∈ P ändert sich weder der Fluss noch die Richtung
zu r. Da P in T augmentierend ist, ist P daher auch in T ′ augmentierend. Für die
folgenden Fälle genügt es also zu zeigen, dass der [i, s]-Weg augmentierend ist.
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