finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

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1.2 Optimierungsprobleme Theorie als auch die Algorithmen zur Lösung von Problemen des Typs (1.6) bis (1.9) ganz erheblich von denen zur Lösung von Problemen des Typs (1.10) und (1.11) unterscheiden. Ziel dieser Vorlesung ist zunächst, das Verständnis für Fragestellung der Optimierung und deren Anwendungen zu wecken. Die Studierenden sollen darüber hinaus natürlich in die Optimierungstheorie eingeführt werden und einige Werkzeuge theoretischer und algorithmischer Natur zur Lösung von linearen, kombinatorischen und ganzzahligen Optimierungsproblemen kennenlernen. Damit wird grundlegendes Rüstzeug zur Behandlung (Modellierung, numerischen Lösung) von brennenden Fragen der heutigen Zeit bereitgestellt. Die wirklich wichtigen Fragen benötigen zur ihrer Lösung jedoch erheblich mehr Mathematik sowie weitergehendes algorithmisches und informationstechnisches Knowhow. Und ohne enge Zusammenarbeit mit Fachleuten aus Anwendungsdisziplinen wird man die meisten Fragen nicht anwendungsadäquat beantworten können. Einige Themen von derzeit großer Bedeutung, bei denen der Einsatz von mathematischer Optimierung (in Kombination mit vielfältigen Analysetechniken und praktischen Erfahrungen aus anderen Disziplinen) wichtig ist, hat der Präsident von acatech (Deutsche Akademie der Technikwissenschaften), Reinhard F. Hüttl, zu Beginn seiner Rede zur Eröffnung der Festveranstaltung 2012 am 16. Oktober 2012 im Konzerthaus am Gendarmenmarkt in Berlin beschrieben: „Als wir im letzten Jahr an diesem Ort zur acatech-Festveranstaltung zusammenkamen, war die Energiewende bereits das, was man bürokratisch als „Beschlusslage“ bezeichnen würde. Gut ein Jahr nach diesem Beschluss bestimmen mehr Fragen als Antworten die Diskussion um unsere zukünftige Energieversorgung: Was wollen wir erreichen? - Den schnellstmöglichen Ausstieg aus der Kernenergie? Eine Verlangsamung des Klimawandels? Den raschen Ausbau erneuerbarer Energien? Möglichst hohe Energieeffizienz? Und wer sollte für welches Ziel und welche Maßnahme die Umsetzung verantworten? Und vor allem: Welche Ziele haben Priorität, und, um die dominierende Frage der letzten Tage und Wochen aufzugreifen, zu welchem Preis – im wörtlichen wie im übertragenen Sinne – wollen und können wir diese Ziele erreichen? Die Debatte der vergangenen Zeit hat gezeigt, dass es auf diese Fragen viele Antworten gibt. – In etwa so viele, wie es Interessensgruppen, Verbände, Unternehmen, Parteien und Parlamente gibt. Vielleicht lässt genau deshalb die Umsetzung der Energiewende auf sich warten. Auch die Wissenschaft hat keine endgültigen Antworten auf diese zentrale gesellschaftliche Frage. Aber: Wissenschaft kann helfen, Daten und Fakten zu sichten, ans Licht zu befördern und zu gewichten. Wissenschaft kann Handlungsoptionen darstellen und auch bewerten. Dies tun wir in unseren aktuellen Publikationen zu Fragen der Energie, der Mobilität, aber auch zu vielen anderen Themen. Das Entscheidungsprimat aber – und dies ist mir gerade in diesem Kontext sehr wichtig – lag und liegt bei der Politik.“ Die mathematische Optimierung ist eine der wissenschaftlichen Disziplinen, die bei der Behandlung der skizierten Problemfelder und Fragen eingesetzt werden muss. Aber sie 9
1 Einführung ist hier nur eine Hilfswissenschaft, denn die Formulierung von Gewichtungen und Zielen und die Bewertung von Ergebnissen unterliegen komplexen gesellschaftlichen Debatten. Wir sollten jedoch die Bedeutung der Mathematik hierbei nicht unterschätzen, sie hilft komplexe politische Entscheidungen (ein wenig) rationaler zu machen. 10
Seite 1 und 2: Einführung in die Lineare und Komb
Seite 4 und 5: Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 1
Seite 6 und 7: 1 Einführung 1.1 Einführendes Bei
Seite 8 und 9: 1.1 Einführendes Beispiel muss der
Seite 10 und 11: t 2 ≤ s s ≤ 3 −s + t ≤ 1
Seite 12 und 13: 1.2 Optimierungsprobleme wobei u ei
Seite 16 und 17: 2 Grundlagen und Notation 2.1 Graph
Seite 18 und 19: 2.1 Graphen und Digraphen: Wichtige
Seite 22 und 23: (a) (c) 2.1 Graphen und Digraphen:
Seite 26 und 27: 2.2 Lineare Algebra uns auf Q oder
Seite 28 und 29: und meinen damit, dass A die folgen
Seite 30 und 31: 2.2 Lineare Algebra wie in der line
Seite 32 und 33: 2.3 Polyeder und lineare Programme
Seite 34 und 35: (2.4) Bemerkung. Die Lösungsmenge
Seite 40 und 41: V. Chvátal. Linear Programming. Fr
Seite 42 und 43: 3 Diskrete Optimierungsprobleme Die
Seite 44 und 45: 3.2 Klassische Fragestellungen der
Seite 46 und 47: (a) (b) 3.2 Klassische Fragestellun
Seite 48 und 49: 3.3 Graphentheoretische Optimierung
Seite 56 und 57: • Schaltkreisentwurf • Standort
Seite 62 und 63: Literaturverzeichnis T. L. Gertzen
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4 Komplexitätstheorie und Speicher
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4.1 Probleme, Komplexitätsmaße, L
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4.2 Die Klassen P und N P, N P-Voll
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4 4.3 Datenstrukturen zur Speicheru
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4.3 Datenstrukturen zur Speicherung
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4.3 Datenstrukturen zur Speicherung
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R. E. Tarjan. Data structures and n
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5 Bäume und Wege Der Beweis ist et
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5 Bäume und Wege (2) =⇒ (3) Ist
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5 Bäume und Wege Haben wir einen A
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5 Bäume und Wege 4. DO u = 1 TO v
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5 Bäume und Wege C2 C1 s 4 C3 C4 2
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5 Bäume und Wege Um lästige Trivi
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Literaturverzeichnis A. Goldberg. P
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6 Maximale Flüsse in Netzwerken Al
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6 Maximale Flüsse in Netzwerken Da
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6 Maximale Flüsse in Netzwerken s
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Literaturverzeichnis L. R. Ford, Jr
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7 Flüsse mit minimalen Kosten Ein
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7 Flüsse mit minimalen Kosten Dami
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7 Flüsse mit minimalen Kosten Dami
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7 Flüsse mit minimalen Kosten r s
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8 Grundlagen der Polyedertheorie In
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(c) Ist F = {x ∈ P | c T x = γ}
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(a) =⇒ (d): Nach Definition ist {
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(8.12) Folgerung. Sei P = P = (A, b
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9 Die Grundversion des Simplex-Algo
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9.1 Basen, Basislösungen, Entartun
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9.1 Basen, Basislösungen, Entartun
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9.2 Basisaustausch (Pivoting), Simp
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gilt daher ⎛ ⎜ F · E = ⎜ ⎝
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9.2 Basisaustausch (Pivoting), Simp
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9.3 Das Simplexverfahren (c) Ist x
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Setze (II.6) Updating B ′ := (p1,
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9.3 Das Simplexverfahren (Die Trans
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9.3 Das Simplexverfahren x2 = 0 nic
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9.3 Das Simplexverfahren Wir führe
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9.3 Das Simplexverfahren Das letzte
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9.4 Spalten- und Zeilenauswahlregel
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9.5 Die Phase I (2) Kleinster-Varia
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9.5 Die Phase I x ≥ 0. Wir müsse
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x1 x2 x3 s1 s2 s3 9.5 Die Phase I 6
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10 Fourier-Motzkin-Elimination und
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11 Das Farkas-Lemma und Dualitätst
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12 Ganzzahligkeit von Polyedern: Ei
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