finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

7.3 Der Netzwerk-Simplex-Algorithmus
Beweis. Folgt aus dem zweiten Teil des Beweises von Satz (7.24). ✷
Der Netzwerk-Simplex-Algorithmus nutzt Folgerung (7.25) aus, indem ausschließlich
zulässige Baum-Lösungen erzeugt werden.
Noch offen ist die Konstruktion einer ersten zulässigen Baum-Lösung. Anders als beim
Maximalflussproblem ist dies für das Minimalkosten-Flussproblems nicht trivial, da der
Nullfluss nicht notwendig zulässig ist. Wir können jedoch aus jeder Instanz des Minimalkosten-Flussproblems
I = (D = (V, A), c, l, u) eine abgeleitete Instanz I ′ = (D ′ =
(V ′ , A ′ ), c ′ , l ′ , u ′ ) konstruieren,
• für die wir einen zulässigen Fluss angeben können und
• deren optimale Lösungen im Falle der Zulässigkeit von I denen von I entsprechen.
Dazu definieren wir den „Nettobedarf“ ˜ b(i) für Knoten in V als
˜ bi := bi + l(δ + (i)) − l(δ − (i)), (7.26)
also als Bedarfsplus der Differenz der Mindestabgabe und der Mindestzulieferung. Ein
Knoten i ∈ V ist „unterversorgt“, wenn sein Bedarf bi nicht durch die eingehenden Bögen
gedeckt werden kann, d. h. wenn ˜ bi < 0 und „überversorgt“ sonst. Wir setzen
V + := {i ∈ V | ˜ bi < 0},
V − := {i ∈ V | ˜ bi ≥ 0}.
Der Digraph D ′ = (V ′ , A ′ ) enthält einen zusätzlichen Knoten k mit Bedarf b ′ k
sowie einen Bogen (k, i) für jeden Knoten i ∈ V − und einen Bogen (i, k) für jeden
Knoten i ∈ V + . Die Kosten für diese zusätzlichen Bögen werden so hoch gesetzt, dass
sie in keiner Optimallösung für I ′ gewählt werden, falls I zulässig ist, also z. B.
M := 1 + 1
2 |V | max{|ca| | a ∈ A}.
Die erweiterte Instanz I ′ ist dann gegeben durch:
V ′ := V ∪ {k}
A ′ := A ∪ {(k, i) | i ∈ V − } ∪ {(i, k) | i ∈ V + }
c ′ a :=
b ′ i :=
l ′ a :=
u ′ a :=
ca a ∈ A
M a ∈ A ′
\ A
bi i ∈ V
0 i ∈ V ′
\ V
la a ∈ A
0 a ∈ A ′
\ A
ua a ∈ A
∞ a ∈ A ′ \ A
= 0
(7.27)
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