finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

7.3 Der Netzwerk-Simplex-Algorithmus
Natürlich sollte e so gewählt werden, dass sich die Kostern verringern. Die Kosten
von x und x ′ unterscheiden sich um
ε ca −
ca,
(7.20)
a∈F
d. h. die Kosten des Kreises C (die Differenz der Summen in den Klammern) sollten
negativ sein. Die Berechnung der Kosten von C kann durch die Einführung von Knotenpreisen
y = (yi)i∈V vereinfacht werden. Die Idee (und ökonomische Interpretation)
der Knotenpreise ist, dass yi den Wert des transportierten Gutes (das hier abstrakt als
Fluss behandelt wird) an Knoten i ∈ V angibt. Diese Knotenpreise können lokal unterschiedlich
sein, da die Transportkosten zu einem Knoten (die indirekt auch durch die
Bogenkapazitäten bestimmt werden) sich von Knoten zu Knoten unterscheiden können.
Sie sind allerdings nicht völlig unabhängig voneinander: Wenn das Gut zum Preis yi an
Knoten i bereitgestellt werden kann und für den Transport zu Knoten j die Kosten cij
anfallen, so sollte der Preis an Knoten j genau yi + cij betragen. Ist der Preis geringer,
ist er nicht kostendeckend, ist er höher, würde jemand anderes an Knoten i kaufen und
den Transport selbst durchführen. Wir verlangen daher von einem Knotenpreisvektor y,
dass er das Gleichungssystem
a∈B
yi + cij = yj ∀(i, j) ∈ T (7.21)
erfüllt. Dieses Gleichungssystem hat n Variablen, jedoch nur (n − 1) Gleichungen, die
Lösung ist also nicht eindeutig. Allerdings ist die Differenz yi −yj für (i, j) ∈ T eindeutig
und mit der Setzung yn = 0 ergibt sich eine eindeutige Lösung für jeden aufspannenden
Baum T . Wir definieren die reduzierten Kosten ¯cij eines Bogens (i, j) ∈ A als
¯cij := cij + yi − yj ∀(i, j) ∈ A. (7.22)
Offensichtlich gilt ¯cij = 0 für (i, j) ∈ T . Es zeigt sich, dass die reduzierten Kosten von e
genau den Kosten des von e induzierten Kreises C entsprechen.
(7.23) Lemma. Seien e ∈ A \ T , C der eindeutige Kreis in T + e sowie F und B die
Menge der Vorwärts- und Rückwärtsbögen in C mit e ∈ F . Dann gilt
¯ce =
ca −
ca.
△
Beweis. Es gilt
ca −
ca =
(¯cij − yi + yj) −
(¯cij − yi + yj)
a∈F
a∈B
(i,j)∈F
a∈F
= ¯ce +
(i,j)∈F
a∈B
(i,j)∈B
(−yi + yj) −
(i,j)∈B
(−yi + yj)
=0
wegen ¯ca = 0 für a ∈ T und weil die beiden Summen zusammen jeden Knoten des
Kreises C jeweils einmal mit positivem und negativem Vorzeichen enthalten. ✷
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