finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

7 Flüsse mit minimalen Kosten
Erfüllt (x, T, L, U) außerdem alle Bedingungen l ≤ x ≤ u (d. h. auch für die Bögen in T ),
so heißt (x, T, L, U) zulässige Baum-Lösung. △
Wie wir später sehen werden (Satz (7.24)), genügt es, sich bei der Suche nach kostenminimalen
Flüssen auf Baum-Lösungen zu beschränken. Baum-Lösungen haben die
Eigenschaft, dass sich die Flusswerte auf den Nicht-Baum-Kanten über die Flusserhaltungsbedingungen
aus den Flusswerten der Baum-Kanten eindeutig ergeben.
(7.17) Lemma. Seien (T, L, U) eine Partition von A und T ein aufspannender Baum
für D = (V, A). Dann existiert ein (nicht unbedingt zulässiger) eindeutiger Fluss x mit
xa = la für alle a ∈ L und xa = ua für alle a ∈ U. △
Beweis. Sei i ein Blatt von T und a ∈ T der mit i inzidente Bogen sowie M := L ∪ U
die Menge der Bögen mit festem Flusswert. Da i ein Blatt ist, sind alle anderen mit i
inzidenten Bögen in M enthalten. Auf der linken Seite der Flusserhaltungsbedingung
x(δ − (i)) − x(δ + (i)) = bi sind daher alle Terme außer xa konstant, d. h. der Wert von xa
ist durch diese Gleichung eindeutig bestimmt. Wenn wir nun xa auf diesen Wert festsetzen
und a aus T entfernen und in die Menge M aufnehmen, können wir dieses Verfahren mit
dem übrigen Baum T und der aktualisierten Menge M fortsetzen. Schließlich ergibt sich
ein (nicht notwendig zulässiger) Fluss für jeden Bogen des ursprünglichen Baumes T . ✷
Die Grundidee des Netzwerk-Simplex-Algorithmus ist, eine bekannte zulässige Baum-
Lösung in eine andere, kostengünstigere Baum-Lösung „umzubauen“. Konkret passiert
dies, indem wir einen Bogen e ∈ A\T (engl. „entering arc“) zu T hinzunehmen und einen
Bogen f ∈ T (engl. „leaving arc“) aus T entfernen. Damit die Baum-Eigenschaft erhalten
bleibt, sollte f natürlich auf dem eindeutigen Kreis C in T +e liegen. Wir wählen die Orientierung
von C so, dass e ein Vorwärtsbogen auf C ist; F und B bezeichnen die Mengen
der Vorwärts- bzw. Rückwärtsbögen in C. Damit die Aufnahme von e den Zielfunktionswert
verbessert, müssen wir den Fluss auf e erhöhen (e ∈ L) oder verringern (e ∈ U).
Wenn wir den Fluss auf e um ε verändern, erhalten wir einen neuen Fluss x ′ , indem wir
alle Flüsse auf Bögen von C gemäß Gleichung (7.4) anpassen, sodass die Flusserhaltung
weiter gewährleistet ist. Damit x ′ auch die Kapazitätsschranken einhält, dürfen wir ε nur
so groß wählen, dass x ′ auf C eine Kapazitätsschranke erreicht, d. h. ε ist
ε := min min{xa − la | a ∈ B}, min{ua − xa | a ∈ F } . (7.18)
Es ist durchaus möglich, dass ε = 0 auftritt. Sei f einer der Bögen in C, der durch
die Änderung des Flusses um ε seine Kapazitätsschranke erreicht (Achtung: hier kann
auch e = f gelten). Die Baum-Lösung für den neuen Fluss x ′ ergibt sich als
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T := (T − f) + e,
(L − e) + f falls x
L :=
′ f = la,
,
(L − e) sonst,
(U − e) + f falls x
U :=
′ f = ua,
(U − e) sonst.
(7.19)