finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB
finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB
finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB
Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.
YUMPU macht aus Druck-PDFs automatisch weboptimierte ePaper, die Google liebt.
7.2 Transshipment-, Transport- u. Zuordnungsprobleme<br />
Der Algorithmus ist in dieser Form nicht polynomial, da seine Laufzeit polynomial<br />
in der Kodierungslänge 〈f〉 sein müsste. Ferner ist nicht unmittelbar klar, wie lange er<br />
läuft, wenn negative Kosten erlaubt sind, da die Anzahl der Kreise mit negativen Kosten,<br />
auf denen der Fluss verändert werden muß, nicht ohne weiteres abgeschätzt werden<br />
kann. Diese Schwierigkeiten können durch neue Ideen (Augmentierung entlang Kreisen<br />
mit minimalen durchschnittlichen Kosten w(C)/|C|, Skalierungstechniken) überwunden<br />
werden, so dass <strong>Version</strong>en von Algorithmus (7.8) existieren, die polynomiale Laufzeit haben.<br />
Aus Zeitgründen können diese Techniken hier nicht dargestellt werden. Es sei hierzu<br />
wiederum auf die schon mehrfach erwähnten Übersichtsartikel und das Buch von Ahuja<br />
et al. (1993) verwiesen, die auch ausführlich auf die historische Entwicklung eingehen. Der<br />
Aufsatz von M. Shigeno and McCormick (2000) präsentiert zwei Skalierungsmethoden<br />
und gibt dabei eine gute Vergleichsübersicht über viele der bekannten Min-Cost-Flow-<br />
Algorithmen.<br />
7.2 Transshipment-, Transport- u. Zuordnungsprobleme<br />
Wie beim Maximalflussproblem ist es natürlich möglich, Minimalkosten-Flussprobleme,<br />
bei denen mehrere Quellen und Senken vorkommen und bei denen von Null verschiedene<br />
untere Kapazitätsschranken für die Bögen auftreten, zu lösen. Sie können auf einfache<br />
Weise auf das Standardproblem (7.1) reduziert werden.<br />
Es gibt noch eine Reihe von Varianten <strong>des</strong> Minimalkosten-Flussproblems, die in der<br />
Literatur große Beachtung gefunden und viele Anwendungen haben. Ferner gibt es für<br />
alle dieser Probleme Spezialverfahren zu ihrer Lösung. Aus Zeitgründen können wir diese<br />
nicht behandeln. Wir wollen diese Probleme jedoch zumin<strong>des</strong>t aus „Bildungsgründen“<br />
erwähnen und zeigen, wie sie in Minimalkosten-Flussprobleme transformiert werden können.<br />
(7.10) Transshipment-Probleme (Umladeprobleme). Gegeben sei ein Digraph<br />
D = (V, A), <strong>des</strong>sen Knotenmenge zerlegt sei in drei disjunkte Teilmengen Va, Vn und<br />
Vu. Die Knoten aus Va bezeichnen wir als Angebotsknoten. (Bei ihnen fließt ein Strom<br />
in das Netzwerk ein.) Die Knoten Vn bezeichnen wir als Nachfrageknoten (bei ihnen<br />
verläßt der Strom das Netz), und die Knoten Vu werden als Umladeknoten bezeichnet<br />
(hier wird der Fluss erhalten). Jedem Bogen a ∈ A sind eine Kapazität c(a) und ein<br />
Kostenkoeffizient w(a) zugeordnet. Ferner sei bei jedem Angebotsknoten v ∈ Va die<br />
Menge a(v) verfügbar, und bei jedem Nachfrageknoten die Menge b(v) erwünscht. Die<br />
Aufgabe, einen Plan zu ermitteln, der Auskunft darüber gibt, von welchen Anbietern aus<br />
über welche Transportwege der Bedarf der Nachfrager zu decken ist, damit die Kosten<br />
für alle durchzuführenden Transporte minimiert werden, heißt Umladeproblem. △<br />
Offenbar kann man ein Umladeproblem wie in (7.10) angegeben als lineares Programm<br />
137