finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

7.2 Transshipment-, Transport- u. Zuordnungsprobleme
Der Algorithmus ist in dieser Form nicht polynomial, da seine Laufzeit polynomial
in der Kodierungslänge 〈f〉 sein müsste. Ferner ist nicht unmittelbar klar, wie lange er
läuft, wenn negative Kosten erlaubt sind, da die Anzahl der Kreise mit negativen Kosten,
auf denen der Fluss verändert werden muß, nicht ohne weiteres abgeschätzt werden
kann. Diese Schwierigkeiten können durch neue Ideen (Augmentierung entlang Kreisen
mit minimalen durchschnittlichen Kosten w(C)/|C|, Skalierungstechniken) überwunden
werden, so dass Versionen von Algorithmus (7.8) existieren, die polynomiale Laufzeit haben.
Aus Zeitgründen können diese Techniken hier nicht dargestellt werden. Es sei hierzu
wiederum auf die schon mehrfach erwähnten Übersichtsartikel und das Buch von Ahuja
et al. (1993) verwiesen, die auch ausführlich auf die historische Entwicklung eingehen. Der
Aufsatz von M. Shigeno and McCormick (2000) präsentiert zwei Skalierungsmethoden
und gibt dabei eine gute Vergleichsübersicht über viele der bekannten Min-Cost-Flow-
Algorithmen.
7.2 Transshipment-, Transport- u. Zuordnungsprobleme
Wie beim Maximalflussproblem ist es natürlich möglich, Minimalkosten-Flussprobleme,
bei denen mehrere Quellen und Senken vorkommen und bei denen von Null verschiedene
untere Kapazitätsschranken für die Bögen auftreten, zu lösen. Sie können auf einfache
Weise auf das Standardproblem (7.1) reduziert werden.
Es gibt noch eine Reihe von Varianten des Minimalkosten-Flussproblems, die in der
Literatur große Beachtung gefunden und viele Anwendungen haben. Ferner gibt es für
alle dieser Probleme Spezialverfahren zu ihrer Lösung. Aus Zeitgründen können wir diese
nicht behandeln. Wir wollen diese Probleme jedoch zumindest aus „Bildungsgründen“
erwähnen und zeigen, wie sie in Minimalkosten-Flussprobleme transformiert werden können.
(7.10) Transshipment-Probleme (Umladeprobleme). Gegeben sei ein Digraph
D = (V, A), dessen Knotenmenge zerlegt sei in drei disjunkte Teilmengen Va, Vn und
Vu. Die Knoten aus Va bezeichnen wir als Angebotsknoten. (Bei ihnen fließt ein Strom
in das Netzwerk ein.) Die Knoten Vn bezeichnen wir als Nachfrageknoten (bei ihnen
verläßt der Strom das Netz), und die Knoten Vu werden als Umladeknoten bezeichnet
(hier wird der Fluss erhalten). Jedem Bogen a ∈ A sind eine Kapazität c(a) und ein
Kostenkoeffizient w(a) zugeordnet. Ferner sei bei jedem Angebotsknoten v ∈ Va die
Menge a(v) verfügbar, und bei jedem Nachfrageknoten die Menge b(v) erwünscht. Die
Aufgabe, einen Plan zu ermitteln, der Auskunft darüber gibt, von welchen Anbietern aus
über welche Transportwege der Bedarf der Nachfrager zu decken ist, damit die Kosten
für alle durchzuführenden Transporte minimiert werden, heißt Umladeproblem. △
Offenbar kann man ein Umladeproblem wie in (7.10) angegeben als lineares Programm
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