finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

7.1 Flüsse mit minimalen Kosten
Durch iterative Wiederholung dieser Konstruktion erhalten wir nach höchstens |B ′ | Schritten
einen (s, t)-Weg in N und einen gerichteten Kreis in N ′ , dessen Kosten negativ sind
und der keinen Bogen aus B ′ enthält. Folglich ist dieser Kreis ein negativer Kreis in N.
Widerspruch!
Die Konstruktion verläuft wie folgt. Da C ′ ∩ B ′ = ∅, gibt es einen Bogen (u, v) ∈ P
mit (v, u) ∈ C ′ . Wir wählen denjenigen Bogen (u, v) ∈ P , der auf dem Weg von s nach t
entlang P der erste Bogen mit (v, u) ∈ C ′ ist. Wir unterscheiden zwei Fälle.
Fall 1: C ′ ∩ B ′ enthält mindestens zwei Bögen.
Sei (y, x) der nächste Bogen auf dem gerichteten Kreis C ′ nach (v, u), der in B ′ ist.
Wir konstruieren einen (s, t)-Pfad P ⊆ A wie folgt. Wir gehen von s aus entlang
P nach u, dann von u entlang C ′ nach y und von y entlang P nach t. Starten wir
nun in v, gehen entlang P zu x und dann entlang C ′ nach v, so erhalten wir eine
geschlossene gerichtete Kette P ′ ⊆ A ′ . Aus wuv = −w ′ vu und wxy = −w ′ yx folgt,
dass w(P ) + w ′ (C ′ ) = w(P ) + w ′ (P ′ ) gilt. P ist die Vereinigung von gerichteten
Kreisen C ′ 1 , . . . , C′ k ⊆ A mit einem gerichteten (s, t)-Weg Q ⊆ A, und P ′ ist die
Vereinigung von gerichteten Kreisen C ′ k+1 , . . . , C′ r ⊆ A ′ . Da P kostenminimal in N
ist, gilt w(P ) ≤ w(Q), und somit gibt es wegen w(P )+w ′ (P ′ ) = w(Q)+ k
w(C
i=1
′ i )+
r
w
i=k+1
′ (C ′ i ) mindestens einen gerichteten Kreis in A′ , sagen wir K ′ , der negative
Kosten hat. Nach Konstruktion gilt |K ′ ∩ B ′ | < |C ′ ∩ B ′ |.
Fall 2: Der Bogen (u, v) ist der einzige Bogen auf P mit (v, u) ∈ C ′ ∩ B ′ .
Wir konstruieren einen gerichteten (s, t)-Pfad P ⊆ A wie folgt. Wir starten in s
und folgen P bis u, dann folgen wir dem gerichteten Weg von u entlang C ′ bis
v und dann wieder dem gerichteten Weg von v entlang P bis t. Offenbar ist P
in A enthalten und ein gerichteter (s, t)-Pfad in N. Aus wuv = −w ′ vu folgt direkt
w(P ) + w ′ (C ′ ) = w(P ). Der gerichtete (s, t)-Pfad P ist die Vereinigung eines (s, t)-
Weges Q und einiger gerichteter Kreise C ′ 1 , . . . , C′ k . Da P ein (s, t)-Weg in N mit
minimalen Kosten ist, gilt w(Q) ≥ w(P ), und aus w(Q) = w(P ) − k i=1 w(C′ 1 )
folgt, dass mindestens einer der Kreise C ′ i negativ ist. Da alle C′ i in A enthalten
sind, enthält A einen negativen Kreis. Widerspruch! ✷
Damit können wir nun einen Algorithmus zur Lösung des Minimalkosten-Flussproblems
angeben.
(7.8) Algorithmus.
Eingabe: Digraph D = (V, A), mit Kapazitäten c ∈ R A + und Kosten w ∈ R A , zwei
verschiedene Knoten s, t ∈ V und ein Flusswert f.
Ausgabe: Ein zulässiger (s, t)-Fluss x mit Wert f, der kostenminimal unter allen zulässigen
(s, t)-Flüssen mit Wert f ist, oder die Aussage, dass kein zulässiger (s, t)-Fluss
mit Wert f existiert.
1. Setze x(a) = 0 für alle a ∈ A (bzw. starte mit einem zulässigen (s, t)-Fluss mit
Wert nicht größer als f).
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