finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

7.1 Flüsse mit minimalen Kosten
zeigen nun, dass x auch die Flusserhaltungsbedingungen für alle v ∈ V erfüllt.
x(δ +
N (v)) − x(δ− N (v)) =
a∈δ + (x(a1) − x(a2)) −
(v)
a∈δ− (x(a1) − x(a2))
(v)
=
a∈δ + (v)
=
a∈δ + (v)
−
(x ′ (a) − x(a)) −
a∈δ + (v)
x ′ (a) −
a∈δ − (v)
x(a) −
a∈δ − (v)
a∈δ − (v)
x ′
(a)
x(a)
(x ′ (a) − x(a))
⎧
⎪⎨ 0 − 0 falls v ∈ V \ {s, t}
= val(x
⎪⎩
′ ) − val(x)
−val(x
falls v = s
′ ) + val(x) falls v = t
= 0.
Daraus folgt, dass x die Flußerhaltungsbedingungen erfüllt und dass val(x) = 0 gilt.
Damit ist Behauptung 1 bewiesen. ✷
Behauptung 2. Es gibt zulässige (s, t)-Flüsse x1, . . . , xk ∈ R A , k ≤ |A|, so dass folgendes
gilt:
(a) x(a) = k
i=1 xi(a) für alle a ∈ A.
(b) Für jeden (s, t)-Fluss xi, i ∈ {1, . . . , k} gibt es einen gerichteten Kreis Ci in N und
eine positive Zahl αi, so dass xi(a) = αi für alle a ∈ Ci und xi(a) = 0 für alle
a ∈ A \ Ci. △
Beweis. Sei p die Anzahl der Bögen a ∈ A mit x(a) = 0. Da x = x ′ gilt p ≥ 1. Sei
v0 ein Knoten, so dass ein Bogen (v0, v1) ∈ A existiert mit x((v0, v1)) = 0. Da in v1 die
Flusserhaltungsbedingung gilt, muss es einen Bogen (v1, v2) ∈ A geben mit x((v1, v2)) =
0. Fahren wir so weiter fort, so erhalten wir einen gerichteten Weg v0, v1, v2, . . . . Da
N endlich ist, muss irgendwann ein Knoten auftreten, der schon im bisher konstruierten
Weg enthalten ist. Damit haben wir einen gerichteten Kreis Cp gefunden. Sei αp der
kleinste Wert x(a) der unter den Bögen a des Kreises Cp auftritt. Definieren wir
αp für alle a ∈ Cp,
xp(a) :=
0 sonst,
so ist xp ∈ R A ein (s, t)-Fluss mit Wert 0. Setzen wir nun xp := x − xp, so ist xp ein
(s, t)-Fluss mit Wert 0, und die Zahl der Bögen a ∈ A mit xp(a) = 0 ist kleiner als p.
Führen wir diese Konstruktion iterativ fort bis xp = 0 ist, so haben wir die gesuchten
Kreise gefunden. ✷
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