finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

s
1/3/5
3/3/4
1
0/1/6 2/2/4 t s 2/-4
1/6
2
(a)
3/3/7
1/4/3
2/5
3/-4
7.1 Flüsse mit minimalen Kosten
Abbildung 7.1: Ein Digraph D mit Fluss x und ein augmentierendes Netzwerk bzgl. x.
Um die umgekehrte Richtung zu beweisen, müssen wir etwas mehr Aufwand treiben,
den wir allerdings direkt bei der Darstellung des Algorithmus benutzen können. Ist x
ein zulässiger (s, t)-Fluss mit Wert f, dann definieren wir einen Digraphen (genannt
augmentierendes Netzwerk bezüglich x) N = (V, A, c, w) wie folgt: Es sei
A1 := {(u, v) ∈ A | xuv < cuv}, A2 := {(v, u) | (u, v) ∈ A und xuv > 0}.
Ist a ∈ A, so schreiben wir a1 bzw. a2 um den zugehörigen Bogen aus A1 bzw. A2 zu
bezeichnen. Schreiben wir für a ∈ A eine Formel wie etwa x ′ (a) = x(a)+x(a1)−x(a2) und
ist einer der Bögen a1 bzw. a2 nicht definiert (d. h. es gilt entweder xa = ca oder xa = 0),
dann ist der Wert x(a1) bzw. x(a2) als Null zu betrachten. Wir setzen A := A1 ˙∪A2 (man
beachte, dass A parallele Bögen enthalten kann). Ferner sei für a ∈ A
c(a) − x(a) falls a = a1,
c(a) :=
x(a) falls a = a2,
w(a) falls a = a1,
w(a) :=
−w(a) falls a = a2.
In Abbildung 7.1(a) ist ein Digraph mit einem (s, t)-Fluss x des Wertes 4 dargestellt.
Die drei Zahlen bei einem Bogen a geben an: Fluss durch a / Kapazität von a / Kosten
von a. Das augmentierende Netzwerk N bezüglich D und x ist in 7.1(b) gezeichnet. Die
beiden Zahlen bei einem Bogen a in 7.1(b) geben an: Kapazität von a / Kosten von a.
Der (ungerichtete) Kreis {(2, t), (1, t), (2, 1)} in Abb. 7.1(a) ist ein augmentierender
Kreis mit Kosten 3 − 7 − 4 = −8. Dieser Kreis entspricht in (b) dem gerichteten Kreis
{(2, t), (t, 1), (1, 2)}, wobei von den beiden zwischen 1 und 2 parallel verlaufenden Bögen
natürlich der mit negativen Kosten zu wählen ist. Aufgrund der Konstruktion von N ist
folgende Beziehung offensichtlich:
(7.5) Lemma. Ist D = (V, A) ein Digraph mit Kapazitäten c ∈ R A + und Kosten w ∈ R A ,
ist x ein zulässiger (s, t)-Fluss in D, und ist N = (V, A, c, w) das zu D und x gehörige
augmentierende Netzwerk, dann entspricht jeder augmentierende Kreis in D genau einem
gerichteten Kreis in N. Die Kosten eines augmentierenden Kreises in D stimmen überein
mit der Summe der Kostenkoeffizienten des zugehörigen gerichteten Kreises in N. △
1/-5
1
2
(b)
3/-7
1/-3
3/3
t
131