Der Knoten s ist die Quelle, t ist die Senke von D ′ . Ferner sei Es reicht z. B. M := A ′ := A ∪ {(s, si) | i = 1, . . . , p} ∪ {(ti, t) | i = 1, . . . , q} c ′ (a) := c(a) für alle a ∈ A c(a) := M für alle a ∈ A ′ \ A. Literaturverzeichnis c(a) + 1 zu wählen. Man überlegt sich sofort, dass jedem a∈A zulässigen (s, t)-Fluss in D ′ ein zulässiger (S, T )-Fluss in D mit gleichem Wert entspricht. Also liefert ein maximaler (s, t)-Fluss in D ′ einen maximalen (S, T )-Fluss in D. Separationsalgorithmen Maximalfluss-Algorithmen spielen eine wichtige Rolle in sogenannten Schnittebenenverfahren für die ganzzahlige Optimierung. So treten etwa bei der Lösung von Travelling-Salesman-Problemen und Netzwerkentwurfsproblemen (Telekommunikation, Wasser- und Stromnetzwerke) Ungleichungen <strong>des</strong> Typs u∈W v∈V \W xuv ≥ f(w) ∀W ⊆ V auf, wobei f(w) eine problemspezifische Funktion ist. Die Anzahl dieser Ungleichungen ist exponentiell in |V |. Häufig kann man jedoch in einer Laufzeit, die polynomial in |V | ist, überprüfen, ob für einen gegebenen Vektor x ∗ alle Ungleichungen dieser Art erfüllt sind oder ob x ∗ eine der Ungleichungen verletzt. Algorithmen, die so etwas leisten, werden Separationsalgorithmen genannt. Beim TSP zum Beispiel können die „Schnittungleichungen“ durch Bestimmung eines kapazitätsminimalem Schnittes (mit Hilfe eines Maximalflussalgorithmus) überprüft werden. Literaturverzeichnis R. K. Ahuja, T. L. Magnanti, and J. B. Orlin. Network Flows, Handbooks in Operations Research and Management Science, volume 1, chapter Optimization, pages 211–360. Elsevier, North-Holland, Amsterdam, 1989. R. K. Ahuja, T. L. Magnanti, and J. B. Orlin. Network Flows, Theory, Algorithms and Applications. Paramount Publishing International, Prentice Hall, New York, 1993. M. O. Ball, T. L. Magnanti, C. L. Monma, and G. L. Nemhauser, editors. Handbooks in Operations Research and Management Science, volume 7: Network Models. North- Holland, Amsterdam, 1995a. M. O. Ball, T. L. Magnanti, C. L. Monma, and G. L. Nemhauser, editors. Handbooks in Operations Research and Management Science, volume 8: Network Routing. North- Holland, Amsterdam, 1995b. J. Edmonds and R. M. Karp. Theoretical improvement in algorithmic efficiency of network flow problems. J. ACM, (19):248–264, 1972. 127
Literaturverzeichnis L. R. Ford, Jr. and D. R. Fulkerson. Maximal flow through a network. Canadian Journal of Mathematics, 8:399–404, 1956. A. Frank. Connectivity and network flows. In R. L. Graham et al., editors, Handbook of Combinatorics, chapter 2, pages 111–177. North-Holland, Amsterdam, 1995. D. Jungnickel. Graphs, Networks and Algorithms. Springer, 4. edition, 2013. J. L. R. Ford and D. R. Fulkerson. Flows in Networks. Princeton University Press, Princeton, 1962. A. F. P. Elias and C. E. Shannon. Note on maximum flow through a network. IRE Trans. on Inform. Theory, (2):117–119, 1956. A. Schrijver. Combinatorial Optimization – Polyhedra and Efficiency. Springer-Verlag, Berlin, 2003. E. T. V. Goldberg and R. E. Tarjan. Network flow algorithms. In in B. Korte et al. (eds.), editor, Paths, Flows, and VLSI-Layout. Springer-Verlag, Berlin, 1990. 128
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Einführung in die Lineare und Komb
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t 2 ≤ s s ≤ 3 −s + t ≤ 1
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2 Grundlagen und Notation 2.1 Graph
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und meinen damit, dass A die folgen
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3 Diskrete Optimierungsprobleme Die
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Literaturverzeichnis T. L. Gertzen
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