finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

Der Knoten s ist die Quelle, t ist die Senke von D ′ . Ferner sei
Es reicht z. B. M :=
A ′ := A ∪ {(s, si) | i = 1, . . . , p} ∪ {(ti, t) | i = 1, . . . , q}
c ′ (a) := c(a) für alle a ∈ A
c(a) := M für alle a ∈ A ′ \ A.
Literaturverzeichnis
c(a) + 1 zu wählen. Man überlegt sich sofort, dass jedem
a∈A
zulässigen (s, t)-Fluss in D ′ ein zulässiger (S, T )-Fluss in D mit gleichem Wert entspricht.
Also liefert ein maximaler (s, t)-Fluss in D ′ einen maximalen (S, T )-Fluss in D.
Separationsalgorithmen Maximalfluss-Algorithmen spielen eine wichtige Rolle in sogenannten
Schnittebenenverfahren für die ganzzahlige Optimierung. So treten etwa bei der
Lösung von Travelling-Salesman-Problemen und Netzwerkentwurfsproblemen (Telekommunikation,
Wasser- und Stromnetzwerke) Ungleichungen des Typs
u∈W v∈V \W
xuv ≥ f(w) ∀W ⊆ V
auf, wobei f(w) eine problemspezifische Funktion ist. Die Anzahl dieser Ungleichungen
ist exponentiell in |V |. Häufig kann man jedoch in einer Laufzeit, die polynomial in
|V | ist, überprüfen, ob für einen gegebenen Vektor x ∗ alle Ungleichungen dieser Art erfüllt
sind oder ob x ∗ eine der Ungleichungen verletzt. Algorithmen, die so etwas leisten,
werden Separationsalgorithmen genannt. Beim TSP zum Beispiel können die „Schnittungleichungen“
durch Bestimmung eines kapazitätsminimalem Schnittes (mit Hilfe eines
Maximalflussalgorithmus) überprüft werden.
Literaturverzeichnis
R. K. Ahuja, T. L. Magnanti, and J. B. Orlin. Network Flows, Handbooks in Operations
Research and Management Science, volume 1, chapter Optimization, pages 211–360.
Elsevier, North-Holland, Amsterdam, 1989.
R. K. Ahuja, T. L. Magnanti, and J. B. Orlin. Network Flows, Theory, Algorithms and
Applications. Paramount Publishing International, Prentice Hall, New York, 1993.
M. O. Ball, T. L. Magnanti, C. L. Monma, and G. L. Nemhauser, editors. Handbooks
in Operations Research and Management Science, volume 7: Network Models. North-
Holland, Amsterdam, 1995a.
M. O. Ball, T. L. Magnanti, C. L. Monma, and G. L. Nemhauser, editors. Handbooks
in Operations Research and Management Science, volume 8: Network Routing. North-
Holland, Amsterdam, 1995b.
J. Edmonds and R. M. Karp. Theoretical improvement in algorithmic efficiency of network
flow problems. J. ACM, (19):248–264, 1972.
127