finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

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6.3 Einige Anwendungen
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7 t
Abbildung 6.3: Maximaler Fluss für den Beispiel-Digraph aus Abbildung 6.2.
8. Es gilt
1/1
1/1
VOR(t) = +7
VOR(7) = +6
VOR(6) = +3
VOR(3) = −4
VOR(4) = −2
VOR(2) = +s
also ist der augmentierende Weg mit EPS(t) = 2 der folgende (s, 2), (4, 2), (3, 4),
(3, 6), (6, 7), (7, t). Der neue Fluss ist in Abbildung 6.3 dargestellt. Dieser
(s, t)-Fluss ist maximal, ein (s, t)-Schnitt minimaler Kapazität ist δ + ({s, 2}), ein
anderer δ + ({s, 1, 2, 3, 4, 5}). △
6.3 Einige Anwendungen
In diesem Abschnitt geht es nicht um praktische Anwendungen, sondern um Anwendungen
der im Vorhergehenden angegebenen Sätze und Algorithmen zur Lösung anderer
mathematischer (Optimierungs-)Probleme.
Matchings maximaler Kardinalität in bipartiten Graphen In (3.9) haben wir das bipartite
Matchingproblem kennengelernt. Wir wollen nun zeigen, wie man die Kardinalitätsversion
dieses Problems, d. h. alle Kantengewichte sind 1, mit Hilfe eines Maximalflussverfahrens
lösen kann.
Ist also G = (V, E) ein bipartiter Graph mit Bipartition V1, V2, so definieren wir einen
Digraphen D = (W, A) wie folgt. Wir wählen zwei neue Knoten, sagen wir s und t, und
setzen W := V ∪ {s, t}. Die Bögen von D seien die folgenden. Ist e = uv ∈ E eine Kante
von G, so geben wir dieser die Richtung von V1 nach V2. Ist also u ∈ V1 und v ∈ V2,
so wird aus uv ∈ E der Bogen (u, v) andernfalls der Bogen (v, u). Ferner enthält D die
Bögen (s, u) für alle u ∈ V1 und die Bögen (v, t) für alle v ∈ V2. Alle Bögen von D
erhalten die Kapazität 1. Die Konstruktion von D aus G ist in Abbildung 6.4 an einem
Beispiel dargestellt.
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