finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

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6.2 Der Ford-Fulkerson-Algorithmus
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Abbildung 6.2: Beispiel-Digraph für den Ford-Fulkerson-Algorithmus.
Also funktioniert (6.13) auch bei rationalen Daten. Lässt man (zumindest theoretisch)
auch irrationale Kapazitäten zu, so kann man Beispiele konstruieren, bei denen Algorithmus
(6.13) nicht nach endlicher Zeit abbricht. Aber auch bei ganzzahligen Daten gibt
es Probleme. Ein Durchlauf der Markierungs- und Überprüfungsphase und der Augmentierungsphase
kann offenbar in O(m), m = |A|, Schritten durchgeführt werden. Nach
jedem Durchlauf wird der Flusswert um mindestens 1 erhöht. Ist also v der Wert des
maximalen (s, t)-Flusses, so ist die Laufzeit von (6.13) O(m · v). Diese Laufzeit ist nicht
polynomial in n + m +
a∈A 〈ca〉, und wenn man die im Verfahren (6.13) noch nicht
exakt spezifizierten Schritte ungeschickt ausführt, kann man tatsächlich zu exorbitanten
Laufzeiten kommen. Allerdings haben Edmonds and Karp (1972) gezeigt:
(6.14) Satz. Falls in Algorithmus (6.13) jeder Augmentierungsschritt entlang eines augmentierenden
[s, t]-Weges mit minimaler Bogenzahl durchgeführt wird, dann erhält man
einen Maximalfluss nach höchstens mn
2 Augmentierungen. Also ist die Gesamtlaufzeit
dieser Version des Verfahrens (6.13) O(m2n). △
Satz (6.14) gilt für beliebige (auch irrationale) Bogenkapazitäten. Es ist in diesem
Zusammenhang interessant zu bemerken, dass praktisch jeder, der Verfahren (6.13) implementiert,
die Edmonds-Karp-Vorschrift einhält. Üblicherweise arbeitet man die Knoten
in Breadth-First-Reihenfolge ab. Dies führt zu augmentierenden Wegen minimaler
Bogenzahl. Das heißt, man implementiert die Menge U der markierten und noch nicht
abgearbeiteten Knoten als Schlange. Wird ein Knoten in Schritt 5 oder 6 zu U hinzugefügt,
so kommt er an das Ende der Schlange. In Schritt 4 wird immer der Knoten i ∈ U
gewählt, der am Anfang der Schlange steht.
(6.15) Beispiel. Wir betrachten den in Abbildung 6.2 dargestellten Digraphen. Die erste
Zahl des Zahlenpaares bei einem Bogen gibt den gegenwärtigen Fluss durch den Bogen
an, die zweite die Kapazität des Bogens. In Abbildung 6.2 starten wir also mit einem
Fluss des Wertes 10.
Wir führen einen Durchlauf der Markierungs- und Überprüfungsphase vor. Im weiteren
sei
VOR = (VOR(1), VOR(2), . . . , VOR(8), VOR(t))
EPS = (EPS(1), EPS(2), . . . , EPS(8), EPS(t)).
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