finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

6.2 Der Ford-Fulkerson-Algorithmus
Beweis. Ist P ein bezüglich x augmentierender [s, t]-Weg, dann sei
cij − xij falls (i, j) ∈ P Vorwärtsbogen,
ε := min
falls (i, j) ∈ P Rückwärtsbogen.
Setzen wir
x ′ ij :=
xij
⎧
⎪⎨ xij + ε falls (i, j) ∈ P Vorwärtsbogen,
xij − ε
⎪⎩
falls (i, j) ∈ P Rückwärtsbogen,
falls (i, j) ∈ A \ P ,
xij
(6.10)
(6.11)
dann ist offenbar x ′ ij ein zulässiger (s, t)-Fluss mit val(x′ ) = val(x) + ε. Also kann x nicht
maximal sein.
Angenommen x besitzt keinen augmentierenden Weg. Dann sei W die Knotenmenge,
die aus s und denjenigen Knoten v ∈ V besteht, die von s aus auf einem bezüglich
x augmentierenden [s, v]-Weg erreicht werden können. Definition (6.8) impliziert xa =
ca für alle a ∈ δ + (W ) und xa = 0 für alle a ∈ δ − (W ). Daraus ergibt sich val(x) =
x(δ + (W )) − x(δ − (W )) = x(δ + (W )) = c(δ + (W )). Aufgrund von Lemma (6.4)(b) ist
somit x maximal. ✷
Der Beweis von Satz (6.9) liefert einen Schnitt δ + (W ) mit val(x) = c(δ + (W )). Zusammen
mit Lemma (6.4)(b) ergibt dies einen kombinatorischen Beweis des Max-Flow-
Min-Cut-Theorems. Aus dem Beweis von Satz (6.9) folgt ebenfalls, dass das lineare Programm
(6.5) ganzzahlige Optimallösungen hat, falls alle Kapazitäten ganzzahlig sind.
(6.12) Satz. Sei D = (V, A) ein Digraph mit ganzzahligen Bogenkapazitäten ca ≥ 0,
und seien s, t ∈ V , s = t. Dann gibt es einen maximalen zulässigen (s, t)-Fluss, der
ganzzahlig ist. △
Beweis. Wir führen einen Induktionsbeweis über die Anzahl der „Additionen“ augmentierender
Wege. Wir starten mit dem Nullfluss. Haben wir einen ganzzahligen Flussvektor
und ist dieser nicht maximal, so bestimmen wir den Wert ε durch (6.10). Nach Voraussetzung
ist ε ganzzahlig, und folglich ist der neue durch (6.11) festgelegte Flussvektor
ebenfalls ganzzahlig. Bei jeder Augmentierung erhöhen wir den Flusswert um mindestens
eins. Da der maximale Flusswert endlich ist, folgt die Behauptung aus Satz (6.9). ✷
Wir können nun den Ford-Fulkerson-Algorithmus angeben:
(6.13) Ford-Fulkerson-Algorithmus.
Eingabe: Digraph D = (V, A) mit Bogenkapazitäten ca ∈ R, ca ≥ 0 für alle Bögen
a ∈ A und zwei Knoten s, t ∈ V , s = t.
Ausgabe: Ein zulässiger (s, t)-Fluss x mit maximalem Wert val(x) und ein kapazitätsminimaler
(s, t)-Schnitt δ + (W ).
1. (Initialisierung) Sei x = (xij) ∈ R A ein zulässiger (s, t)-Fluss. Hier verwendet
man am besten eine schnelle Heuristik zur Auffindung eines „guten“ Flusses. Wenn
einem nichts einfällt, setzt man z. B. xij = 0 für alle (i, j) ∈ A. Lege folgende
Datenstrukturen an:
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