finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

6 Maximale Flüsse in Netzwerken
Algorithmik und zu den Anwendungen von Netzwerken. Gerade ist die vierte Auflage
des Buches von Jungnickel (2013) erschienen, welches ebenfalls empfehlenswert ist. Und
natürlich gibt es eine hoch kondensierte Zusammenfassung der Netzwerkflusstheorie und
-algorithmik in Schrijver (2003).
6.1 Das Max-Flow-Min-Cut-Theorem
Im Folgenden sei D = (V, A) ein Digraph mit Bogenkapazitäten c(a) ∈ R, c(a) ≥ 0 für
alle a ∈ A. Ferner seien s und t zwei voneinander verschiedene Knoten aus V . Der Knoten
s heißt Quelle (englisch: source), und t heißt Senke (englisch: sink). Eine Funktion
x: A → R (bzw. ein Vektor x ∈ R A ) heißt (s, t)-Fluss, wenn die folgenden Flusserhaltungsbedingungen
erfüllt sind:
a∈δ − (v)
xa =
a∈δ + (v)
Erfüllt x zusätzlich die Kapazitätsbedingungen
xa ∀v ∈ V \ {s, t}. (6.1)
0 ≤ xa ≤ ca ∀a ∈ A, (6.2)
so ist x ein zulässiger (s, t)-Fluss. Für einen (s, t)-Fluss x ∈ R A heißt
val(x) :=
a∈δ + (s)
xa −
a∈δ − (s)
xa
(6.3)
der Wert des (s, t)-Flusses x. Wenn nicht extra darauf hingewiesen wird, ist mit „Fluss“
stets ein zulässiger Fluss gemeint.
Wir werden uns in diesem Abschnitt damit beschäftigen, eine Charakterisierung des
maximalen Wertes eines (s, t)-Flusses zu finden. In den nächsten beiden Abschnitten
werden wir Algorithmen zur Bestimmung eines maximalen zulässigen Flusses angeben.
Wir erinnern daran, dass ein (s, t)-Schnitt in D eine Bogenmenge der Form δ + (W ) =
δ − (V \ W ) = {(i, j) ∈ A | i ∈ W, j ∈ V \ W } mit s ∈ W ⊆ V und t ∈ V \ W ist. Die
Kapazität eines Schnittes δ + (W ) ist wie üblich mit c(δ + (W )) =
a∈δ + (W ) ca definiert.
Aus der „Rohrleitungsanwendung“ wird der Name „Schnitt“ klar. Durchschneiden wir alle
Rohre irgendeines Schnittes, d. h. entfernen wir alle Bögen eines (s, t)-Schnittes aus dem
Digraphen, dann kann kein Fluss mehr von s nach t „fließen“. Diese triviale Beobachtung
liefert:
(6.4) Lemma.
(a) Seien s ∈ W , t ∈ W , dann gilt für jeden zulässigen (s, t)-Fluss x:
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val(x) =
a∈δ + (W )
xa −
a∈δ − (W )
xa.