finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

5.3 Kürzeste Wege
(i, j) und (j, i) mit demGewicht von ij zuordnen, so können wir natürlich durch Anwendung
unserer Verfahren auf D auch kürzeste Wege bzw. Kreise in G bestimmen. Man
beachte jedoch, dass ein negatives Kantengewicht c(ij) in G automatisch zu einem negativen
gerichteten Kreis (i, j)(j, i) in D führt. Mit unseren Methoden können wir also nur
kürzeste Wege und Kreise in Graphen mit nichtnegativen Kantengewichten bestimmen.
Es sei an dieser Stelle jedoch darauf hingewiesen, dass auch in Graphen mit negativen
Kantengewichten kürzeste Wege und Kreise bestimmt werden können, falls kein Kreis
negativ ist. Dies geschieht mit Methoden der Matching-Theorie, auf die wir hier aus
Zeitgründen nicht eingehen können.
Laufzeiten Genaue Laufzeitanalysen von verschiedenen Varianten der hier vorgestellten
Algorithmen zur Berechnung von kürzesten Wegen findet man z. B. in Ahuja et al. (1993)
auf den Seiten 154–157 ebenso, wie einen kurzen geschichtlichen Überblick.
Umfangreiche historische Bemerkungen zur Theorie und Algorithmik von kürzesten
Wegen bietet das Buch von Schrijver (2003). In den Abschnitten 7.5 und 8.6 sind z. B.
Tabellen zu finden, die die Verbesserungen der Worst-Case-Laufzeiten von Kürzeste-
Wege-Algorithmen dokumentieren.
Ein Algorithmus zur Bestimmung kürzester Wege muss jeden Bogen des gegebenen
Digraphen D = (V, A) mindestens einmal „anfassen“. Eine untere Schranke für die Laufzeit
eines jeden Algorithmus dieser Art ist somit O(m), m = |A|. Thorup (1997) hat
gezeigt, dass man diese Laufzeit für ungerichtete Graphen mit nichtnegativen Kantengewichten
tatsächlich erreichen kann. Er benutzt dazu sogenannte „Atomic Heaps“, deren
Verwendung n = |V | ≥ 2 1220
voraussetzt. Das bedeutet, dass diese Methode zwar theo-
retisch „gut“, aber für die Praxis ungeeignet ist. (Thorup diskutiert in seinem Aufsatz
auch implementierbare Varianten, allerdings haben diese eine schlechtere Laufzeit, z. B.
O(log Cmax + m + n log log log n), wobei Cmax das größte Kantengewicht bezeichnet.)
Bei Routenplanern, wie sie z. B. im Internet oder in den Bordcomputern von Autos
angeboten werden, treten Digraphen mit mehreren Millionen Knoten auf (die in der Regel
nur einen kleinen Grad haben). Die Anbieter solcher Programme haben für derartige
Probleme, bei denen ja der Grundgraph, der auf der CD gespeichert ist, fest bleibt,
Spezialverfahren entwickelt (z.B. durch intensives Preprocessing und die Abspeicherung
wichtiger kürzester Verbindungen), die Kürzeste-Wege-Probleme dieser Art sehr schnell
lösen. Um (selbst gesetzte) Zeitschranken für den Nutzer einzuhalten, benutzen diese
Algorithmen z.T. Heuristiken, und derartige Algorithmen liefern nicht notwendig immer
einen beweisbaren kürzesten Weg. Einen Überblick über diesen Aspekt findet man in
Goldberg (2007).
Fast alle Navigationssysteme bieten mehrere Optimierungsmöglichkeiten zur Bestimmung
eines „besten“ Weges an. Man kann z. B. den schnellsten oder den kürzesten Weg bestimmen
lassen. Manche Navigationssysteme offerieren eine „Kombinationsoptimierung“,
man kann dann etwa eingeben, dass Schnelligkeit mit 70% und Streckenkürze mit 30%
berücksichtigt werden. Dies ist eine spezielle Version der Mehrzieloptimierung. Die zwei
Zielfunktionen werden hierbei mit Parametern multipliziert und dann aufaddiert, so dass
nur eine einzige Zielfunktion entsteht. Das nennt man Skalierung. Man könnte auch an-
105