finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

5 Bäume und Wege
C2
C1
s
4
C3 C4
2
1
2 3
1
4
C5
Abbildung 5.4: Beispiel für Satz (5.29).
Beweis. Sei P ein (s, t)-Weg und seien C1, ..., Cd (s, t)-Schnitte wie im Satz gefordert,
dann gilt
c(P ) =
c(a) ≥
|{i : a ∈ Ci}| =
a∈P
a∈P
t
2
d
|Ci ∩ P | ≥
i=1
C6
d
1 = d
Also ist das Minimum nicht kleiner als das Maximum.
Wählen wir die (s, t)-Schnitte Ci := δ + (Vi), mit Vi := {v ∈ V | v kann von s aus auf einem
gerichteten Weg P mit c(P ) ≤ i − 1 erreicht werden}, i = 1, ..., d, dann sehen wir,
dass Gleichheit gilt. ✷
Ein ganz einfaches Beispiel soll zur Veranschaulichung von Satz (5.29) dienen. Wir
betrachten Abbildung 5.4. Der kürzeste Weg von s nach t hat offensichtlich Länge 6.
Konstruieren wir die Knotenmengen Vi und die realisierenden (s, t)-Schnitte δ + (Vi), so
ergeben sich folgende Knotenmengen: V1 = V2 = {s}, V3 = V4 = {s, 1}, V5 = {s, 1, 2},
V6 = {s, 1, 2, 3}. Die zugehörigen Schnitte Ci := δ + (Vi) sind in Abbildung 5.4 als gestrichelte
Linien angedeutet.
Kommen wir zur Einführung von min-max-Sätzen zurück. In abstrakter kombinatori-
scher Notation kann man Satz (5.29) wie folgt notieren. Mit P(D, c) bezeichnen wir die
Menge aller (s, t)-Wege P in D und c(P ) :=
a∈P c(a) sei die Länge eines Weges P ∈
P(D, c). Mit C bezeichnen wir die Menge aller endlichen Folgen (C1, C2, . . . , Ck), k ≥ 1,
von (s, t)-Schnitten, d. h. Ci = δ + (Wi) mit s ∈ Wi, t /∈ Wi, wobei Ci und Cj, i = j, nicht
voneinander verschieden sein müssen. Sei
D(D, c) := {(C1, C2, . . . , Ck) ∈ C | |{i ∈ {1, . . . , k}: a ∈ Ci}| ≤ c(a) ∀a ∈ A}
und der Wert b((C1, C2, . . . , Ck)) einer Folge aus D(D, c) sei die Anzahl der nicht notwendig
verschiedenen Elemente der Folge, also b((C1, C2, . . . , Ck)) = k. Dann gilt:
min{c(P ) | P ∈ P(D, c)} = max{b((C1, C2, . . . , Ck)) | (C1, C2, . . . , Ck) ∈ D(D, c)}.
Kürzeste Wege in ungerichteten Graphen Transformieren wir einen ungerichteten
Graphen G in einen gerichteten Graphen D, indem wir jeder Kante ij die beiden Bögen
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i=1