finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB
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5.3 Kürzeste Wege<br />
Wendet man Algorithmus (5.25) auf Entfernungstabellen in Straßenatlanten an, so<br />
wird man feststellen, dass es häufig Städte i, j, k gibt mit cij +cjk < cik. Die Entfernungen<br />
genügen also nicht der Dreiecksungleichung. Warum ist das so?<br />
5.3.4 Min-Max-Sätze und weitere Bemerkungen<br />
Es folgen in einem kurzen Überblick ein paar Zusatzbemerkungen zum Problemkreis<br />
„Kürzeste Wege“.<br />
Zwei Min-Max-Sätze In der Optimierungstheorie sind sogenannte Dualitäts- oder Min-<br />
Max-Sätze von besonderer Bedeutung. Diese Sätze sind von folgendem Typ: Man hat eine<br />
Menge P und eine Zielfunktion c, die jedem Element x von P einen Wert c(x) zuordnet.<br />
Gesucht wird<br />
min{c(x) | x ∈ P }.<br />
Dann gelingt es manchmal auf natürliche Weise und unter gewissen technischen Voraussetzungen<br />
eine Menge D und eine Zielfunktion b zu finden, die jedem y ∈ D einen Wert<br />
b(y) zuweist, mit der Eigenschaft<br />
min{c(x) | x ∈ P } = max{b(y) | y ∈ D}.<br />
Wie wir später sehen werden, ist die Existenz eines Satzes dieser Art häufig ein Indikator<br />
dafür, dass das Minimierungs- und das Maximierungsproblem „gut“ gelöst werden<br />
können. Für das Kürzeste-Wege-Problem gibt es verschiedene Min-Max-Sätze. Wir geben<br />
zwei Beispiele an und erinnern daran, dass ein (s, t)-Schnitt in einem Digraphen<br />
D = (V, A) eine Bogenmenge der Form δ + (W ) = {(i, j) ∈ A | i ∈ W, j ∈ (V \ W )} ist<br />
mit der Eigenschaft s ∈ W , t ∈ W \ V.<br />
(5.28) Satz. Sei D = (V, A) ein Digraph, und seien s, t ∈ V , s = t. Dann ist die<br />
minimale Länge (= Anzahl der Bögen) eines (s, t)-Weges gleich der maximalen Anzahl<br />
bogendisjunkter (s, t)-Schnitte. △<br />
Beweis. Jeder (s, t)-Weg enthält aus jedem (s, t)-Schnitt min<strong>des</strong>tens einen Bogen. Gibt<br />
es also d bogendisjunkte (s, t)-Schnitte, so hat jeder (s, t)-Weg min<strong>des</strong>tens die Länge d.<br />
Daher ist das Minimum (d. h. die kürzeste Länge eines (s, t)-Weges) min<strong>des</strong>tens so groß<br />
wie das Maximum (gebildet über die Anzahl bogendisjunkter (s, t)-Schnitte).<br />
Sei nun d die Länge eines kürzesten Weges, und sei Vi, i = 1, ..., d, die Menge der<br />
Knoten v ∈ V , die von s aus auf einem Weg der Länge kleiner als i erreicht werden<br />
können. Dann sind die Schnitte δ + (Vi) genau d bogendisjunkte (s, t)-Schnitte. ✷<br />
Eine Verallgemeinerung dieses Sachverhaltes auf gewichtete Digraphen ist das folgende<br />
Resultat.<br />
(5.29) Satz. Seien D = (V, A) ein Digraph, s, t ∈ V , s = t, und c(a) ∈ Z+ für alle<br />
a ∈ A. Dann ist die kürzeste Länge eines (s, t)-Weges gleich der maximalen Anzahl d von<br />
(nicht notwendig verschiedenen) (s, t)-Schnitten C1, ..., Cd, so dass jeder Bogen a ∈ A in<br />
höchstens c(a) Schnitten Ci liegt. △<br />
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