finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

5.3 Kürzeste Wege
Wendet man Algorithmus (5.25) auf Entfernungstabellen in Straßenatlanten an, so
wird man feststellen, dass es häufig Städte i, j, k gibt mit cij +cjk < cik. Die Entfernungen
genügen also nicht der Dreiecksungleichung. Warum ist das so?
5.3.4 Min-Max-Sätze und weitere Bemerkungen
Es folgen in einem kurzen Überblick ein paar Zusatzbemerkungen zum Problemkreis
„Kürzeste Wege“.
Zwei Min-Max-Sätze In der Optimierungstheorie sind sogenannte Dualitäts- oder Min-
Max-Sätze von besonderer Bedeutung. Diese Sätze sind von folgendem Typ: Man hat eine
Menge P und eine Zielfunktion c, die jedem Element x von P einen Wert c(x) zuordnet.
Gesucht wird
min{c(x) | x ∈ P }.
Dann gelingt es manchmal auf natürliche Weise und unter gewissen technischen Voraussetzungen
eine Menge D und eine Zielfunktion b zu finden, die jedem y ∈ D einen Wert
b(y) zuweist, mit der Eigenschaft
min{c(x) | x ∈ P } = max{b(y) | y ∈ D}.
Wie wir später sehen werden, ist die Existenz eines Satzes dieser Art häufig ein Indikator
dafür, dass das Minimierungs- und das Maximierungsproblem „gut“ gelöst werden
können. Für das Kürzeste-Wege-Problem gibt es verschiedene Min-Max-Sätze. Wir geben
zwei Beispiele an und erinnern daran, dass ein (s, t)-Schnitt in einem Digraphen
D = (V, A) eine Bogenmenge der Form δ + (W ) = {(i, j) ∈ A | i ∈ W, j ∈ (V \ W )} ist
mit der Eigenschaft s ∈ W , t ∈ W \ V.
(5.28) Satz. Sei D = (V, A) ein Digraph, und seien s, t ∈ V , s = t. Dann ist die
minimale Länge (= Anzahl der Bögen) eines (s, t)-Weges gleich der maximalen Anzahl
bogendisjunkter (s, t)-Schnitte. △
Beweis. Jeder (s, t)-Weg enthält aus jedem (s, t)-Schnitt mindestens einen Bogen. Gibt
es also d bogendisjunkte (s, t)-Schnitte, so hat jeder (s, t)-Weg mindestens die Länge d.
Daher ist das Minimum (d. h. die kürzeste Länge eines (s, t)-Weges) mindestens so groß
wie das Maximum (gebildet über die Anzahl bogendisjunkter (s, t)-Schnitte).
Sei nun d die Länge eines kürzesten Weges, und sei Vi, i = 1, ..., d, die Menge der
Knoten v ∈ V , die von s aus auf einem Weg der Länge kleiner als i erreicht werden
können. Dann sind die Schnitte δ + (Vi) genau d bogendisjunkte (s, t)-Schnitte. ✷
Eine Verallgemeinerung dieses Sachverhaltes auf gewichtete Digraphen ist das folgende
Resultat.
(5.29) Satz. Seien D = (V, A) ein Digraph, s, t ∈ V , s = t, und c(a) ∈ Z+ für alle
a ∈ A. Dann ist die kürzeste Länge eines (s, t)-Weges gleich der maximalen Anzahl d von
(nicht notwendig verschiedenen) (s, t)-Schnitten C1, ..., Cd, so dass jeder Bogen a ∈ A in
höchstens c(a) Schnitten Ci liegt. △
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