finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

5.3 Kürzeste Wege
(5.25) FLOYD-Algorithmus.
Eingabe: Digraph D = (V, A), V = {1, . . . , n} mit Gewichten c(a) (können auch negativ
sein), für alle a ∈ A.
Ausgabe: Eine (n, n)-Matrix W = (wij), so dass für i = j wij die Länge des kürzesten
(i, j)-Weges und wii die Länge eines kürzesten gerichteten Kreises, der i enthält,
ist (eine Matrix mit diesen Eigenschaften nennt man Kürzeste-Weglängen-Matrix)
und eine (n, n)-Matrix P = (pij), so dass pij der vorletzte Knoten eines kürzesten
(i, j)-Weges (bzw. (i, i)-Kreises) ist.
1. DO i = 1 TO n:
DO j = 1 TO n:
c((i, j)) falls (i, j) ∈ A
END
END.
wij :=
pij :=
+∞ andernfalls
i falls (i, j) ∈ A
0 andernfalls (bedeutet, zur Zeit kein Weg bekannt)
2. DO l = 1 TO n:
DO i = 1 TO n:
DO j = 1 TO n:
Falls wij > wil + wlj,
setze wij := wil + wlj und pij := plj.
(Falls i = j und wii < 0, kann abgebrochen werden.)
END
END
END.
3. Gib W und P aus. △
Für zwei Knoten i, j kann der in P gespeicherte kürzeste (i, j)-Weg wie folgt bestimmt
werden. Setze k := 1 und vk := pij.
Ist vk = i dann STOP, andernfalls setze vk+1 := pivk , k := k + 1 und wiederhole,
d. h. wir iterieren so lange bis ein Knoten, sagen wir vs, der Knoten i ist, dann ist
(i = vs, vs−1, vs−2, . . . , v1, j)
ein kürzester (i, j)-Weg. Überzeugen Sie sich, dass dies stimmt!
(5.26) Satz. Sei D = (V, A) ein Digraph mit beliebigen Bogengewichten c(a) für alle
a ∈ A. Sei W die (n, n)-Matrix, die vom FLOYD-Algorithmus produziert wird, dann gilt:
(a) Der FLOYD-Algorithmus liefert genau dann eine Kürzeste-Weglängen-Matrix W ,
wenn D keinen negativen gerichteten Kreis enthält.
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