finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

5.3 Kürzeste Wege
1, 2, . . . , n bezeichnet sind. Wir nennen einen Bogen (u, v) einen Aufwärtsbogen, falls
u < v gilt, andernfalls heißt (u, v) Abwärtsbogen. Wir sprechen von einem Richtungswechsel,
wenn in einem (s, v)-Weg ein Abwärtsbogen auf einen Aufwärtsbogen folgt oder
umgekehrt. Da s = 1, ist der erste Bogen immer ein Aufwärtsbogen, also ist der erste
Richtungswechsel immer aufwärts nach abwärts. Um einfacher argumentieren zu können,
bezeichnen wir mit DIST(v, m) den Inhalt des Vektors DIST(v) nach Beendigung der
m-ten Iteration der äußeren Schleife.
Wir behaupten nun:
DIST(v, m) = min{c(W ) | W ist ein gerichteter (1, v)-Weg mit
höchstens m Richtungswechseln}, 0 ≤ m ≤ n − 2.
Da ein (1, v)-Weg höchstens n − 1 Bögen und somit höchstens n − 2 Richtungswechsel
besitzt, folgt der Satz aus dem Beweis unserer Behauptung.
Wir beweisen unsere Behauptung durch Induktion über m. Für m = 0 ist der Durchlauf
der Schritte 3 und 4 nichts anderes als Algorithmus (angewendet auf s = 1 und den
azyklischen Digraphen der Aufwärtsbögen, der keinen gerichteten und somit auch keinen
gerichteten negativen Kreis enthält), dessen Korrektheit wir in Satz (5.21) bewiesen
haben. DIST(v, 0) enthält somit die Länge des kürzesten (1, v)-Weges ohne Richtungswechsel,
die Behauptung für m = 0 ist also richtig.
Nehmen wir nun an, dass unsere Behauptung für m ≥ 0 richtig ist und dass wir Schleife
2 zum (m+1)-sten Male durchlaufen haben. Wir müssen zwei Fälle unterscheiden: m+1
gerade oder ungerade. Wir führen den Fall m + 1 ungerade vor, der andere Fall folgt
analog. Die Menge der (1, v)-Wege mit höchstens m + 1 Richtungswechseln besteht aus
folgenden Wegen:
(a) (1, v)-Wege mit höchstens m Richtungswechseln,
(b) (1, v)-Wege mit genau m + 1 Richtungswechseln.
Die Minimallänge der Wege in (a) kennen wir nach Induktionsvoraussetzung bereits,
sie ist DIST(v, m).
Wir haben angenommen, dass s = 1 gilt, also ist der erste Bogen eines jeden Weges ein
Aufwärtsbogen. Für einen (1, v)-Weg mit m + 1 Richtungswechseln und m + 1 ungerade
ist daher der letzte Bogen ein Abwärtsbogen.
Zur Bestimmung des Minimums in (b) führen wir eine weitere Induktion über u =
n, n−1, . . . , v +1 durch. Da jeder Weg, der in n endet mit einem Aufwärtsbogen aufhört,
gibt es keinen (1, n)-Weg mit genau m + 1 Richtungswechseln, also gilt DIST(n, m) =
DIST(n, m + 1).
Nehmen wir nun an, dass wir wissen, dass DIST(w, m + 1) für n ≥ w ≥ u > v + 1
die Länge eines kürzesten (1, w)-Weges mit höchstens m + 1 Richtungswechseln ist. Zur
Bestimmung der Länge eines kürzesten (1, u − 1)-Weges mit höchstens m + 1 Richtungswechseln
müssen wir die Länge eines kürzesten (1, u − 1)-Weges mit höchsten m
Richtungswechseln (diese ist in DIST(u − 1, m) gespeichert) vergleichen mit der Länge
eines kürzesten (1, u − 1)-Weges mit genau m + 1 Richtungswechseln.
99