finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

5.3 Kürzeste Wege
Beweis. Nach Voraussetzung haben alle Bögen in D die Form (u, v) mit u < v. Folglich
gibt es in D keinen (s, v)-Weg für v < s. Nach Definition ist die Länge eines (s, s)-Weges
gleich Null. Ferner enthält jeder (s, v)-Weg mit v > s nur innere Knoten u mit s < u < v.
Es gibt höchstens einen (s, s+1)-Weg, nämlich den Bogen (s, s+1), falls er in D existiert,
also enthält DIST(v) für 1 ≤ v ≤ s + 1 die Länge eines kürzesten (s, v)-Weges in D.
Ist v > s + 1, so folgt durch Induktion über die Schleifenindizes der Schleife 2, dass
DIST(u) die Länge eines kürzesten (s, u)-Weges für 1 ≤ u ≤ v enthält. Aus formalen
Gründen lassen wir Schleife 2 mit v = s + 1 beginnen. Dadurch wird kein Wert DIST(u)
in Schritt 3 geändert. Für v = s + 1 ist somit nach obiger Bemerkung die Behauptung
korrekt. Sei also die Behauptung für v richtig und betrachten wir den Knoten v +1. Nach
Induktionsvoraussetzung enthält DIST(u), 1 ≤ u ≤ v, die Länge eines kürzesten (s, u)-
Weges. Da ein (s, v + 1)-Weg entweder von s direkt nach v + 1 führt (das Gewicht dieses
Bogens ist gegenwärtig in DIST(v + 1) gespeichert) oder zunächst zu Zwischenknoten u
im Intervall s < u ≤ v und dann auf einen Bogen nach v + 1 führt, ist also die Länge des
kürzesten (s, v + 1)-Weges gegeben durch das Minimum der folgenden beiden Werte:
c((s, v + 1)) = DIST(v + 1),
Länge des kürzesten (s, u)-Weges + c((u, v + 1)) = DIST(u) + c((u, v + 1)).
Dieses Minimum wird offenbar bei Ausführung der Schleife 3 für v + 1 berechnet. Daraus
folgt die Behauptung. ✷
Da das Verfahren (5.20) im wesentlichen aus zwei Schleifen besteht, die beide über
maximal n − 2 Indizes laufen, ist die Laufzeit des Verfahrens O(n 2 ).
Wir geben nun den MOORE-BELLMAN-Algorithmus für beliebige Digraphen in zwei
verschiedenen Varianten an:
(5.22) MOORE-BELLMAN-Algorithmus.
Eingabe: Digraph D = (V, A), Gewichte c(a) für alle a ∈ A (können auch negativ sein),
ein Knoten s ∈ V .
Ausgabe: Für jeden Knoten v ∈ V ein kürzester (s, v)-Weg und seine Länge. Korrektheit
des Output ist nur dann garantiert, wenn D keinen negativen Kreis enthält.
Datenstrukturen: DIST(v), VOR(v) für alle v ∈ V (wie in Algorithmus (5.17))
1. Setze:
DIST(s) := 0
DIST(v) := c((s, v)) falls (s, v) ∈ A
DIST(v) := ∞ sonst
VOR(v) := s ∀ v ∈ V.
YEN-VARIANTE Wir nehmen hier zur Vereinfachung der Darstellung o. B. d. A. an,
dass V = {1, . . . , n} und s = 1 gilt.
2. DO m = 0 TO n − 2:
3. Falls m gerade: DO v = 2 TO n:
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