finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

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Abbildung 5.3: Digraph mit negativen Kantengewichten
5.3.2 Ein Startknoten, beliebige Gewichte
5.3 Kürzeste Wege
Das Problem, einen kürzesten Weg in einem Digraphen mit beliebigen Bogengewichten
zu bestimmen, ist trivialerweise äquivalent zum Problem, einen längsten Weg in einem
Digraphen mit beliebigen Bogengewichten zu finden. Gäbe es für das letztere Problem
einen polynomialen Algorithmus, so könnte man in polynomialer Zeit entscheiden, ob
ein Digraph einen gerichteten hamiltonschen Weg enthält. Dieses Problem ist aber N Pvollständig,
also ist das Kürzester-Weg-Problem für beliebige Gewichte N P-schwer.
Andererseits kann man dennoch in beliebig gewichteten Digraphen kürzeste Wege finden,
wenn die negativen Gewichte “gut verteilt” sind oder der Digraph bestimmte Eigenschaften
hat. Der DIJKSTRA-Algorithmus funktioniert bei negativen Gewichten nicht
(im Induktionsschritt des Beweises von (5.18) wurde von der Nichtnegativität explizit
Gebrauch gemacht). Wir wollen nun auf ein Verfahren eingehen, das unabhängig voneinander
von Moore (1959) und Bellman (1958) vorgeschlagen wurde. Zu diesem Verfahren
gibt es eine Vielzahl von Verbesserungsvorschlägen (siehe hierzu z. B. Lawler (1976),
Syslo et al. (1983), Glover et al. (1985)).
Die Idee hinter diesem Verfahren lässt sich wie folgt beschreiben. Wir wollen vom Startknoten
s aus zu allen anderen Knoten v einen kürzesten (s, v)-Weg bestimmen. Wir
initialisieren DIST(v) wieder mit +∞ oder mit c((s, v)) (DIST(v) enthält also die Länge
des kürzesten zur Zeit bekannten (s, v)-Weges mit einer bestimmten Eigenschaft) und
setzen wie in (5.17) VOR(v) = s. Nun versuchen wir, die Distanzen DIST(v) sukzessive
zu reduzieren. Finden wir einen Bogen (u, v) mit DIST(u) + c((u, v)) < DIST(v), so
setzen wir DIST(v) := DIST(u) + c((u, v)) und VOR(v) := u. Wir führen diese Iteration
so lange fort, bis kein Wert DIST(u) mehr reduziert werden kann. Die verschiedenen
Versionen des Moore-Bellman-Algorithmus unterscheiden sich durch die Art, wie diese
Basisiteration ausgeführt wird (d. h. in welcher Reihenfolge die Knoten und Bögen
(u. U. mehrfach) abgearbeitet werden).
Wir wollen uns zunächst überlegen, unter welchen Umständen der MOORE-BELL-
MAN-Algorithmus bei allgemeinen Gewichten nicht funktioniert. Wir betrachten den
Digraphen aus Abbildung 5.3 mit den dort eingetragenen Gewichten. Wir initialisieren
mit DIST(1) = 0, DIST(2) = 2, DIST(3) = DIST(4) = +∞, VOR(i) = 1, i = 1, 2, 3, 4.
Wir stellen fest, dass DIST(3) > DIST(2) + c((2, 3)) = −2, und setzen DIST(3) = −2,
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