Totales Differential Steigung der IS- und der LM-Kurve

Übung Makro II SS 2005
Werkzeuge für die formale Analyse des IS-LM-Modells (geschl. Volkswirtschaft)
Die formale Analyse des IS-LM-Modells in der offenen Volkswirtschaft (Mundell-Fleming-
Modell) erfolgt analog, nur die Gütermarktgleichung ändert sich. Die Variablen Ω, T, q, G, M, p
und c sind als exogen zu betrachten.
Totales Differential
Das partielle Differential bringt zum Ausdruck, wie sich eine Variation einer Variablen bei
Konstanthaltung aller übrigen Variablen auf eine Funktion auswirkt.
Bsp. Auswirkung einer Änderung des Haushaltsvermögens Ω auf den Konsum unter
Konstanthaltung des verfügbaren Einkommens Y-T:
Konsumfunktion: C = C(Ω, Y-T)
Partielles Differential: dC = CΩ·dΩ wobei
Seite 1
C
Ω
∂C
=
∂Ω
Beim totalen Differential hingegen lautet die Fragestellung, wie sich ein Funktionswert
näherungsweise ändert, wenn sich alle Variablen ändern. Die Funktionsänderung ergibt sich
durch die Addition der partiellen Differentiale.
Bsp. Auswirkung der Änderung aller Variablen auf das Volkseinkommen:
IS-Kurve: Y = C(Ω, Y-T) + I(i,q) + G
Totales Differential: dY = CΩ·dΩ + CY-T·(dY-dT) + Ii·di + Iq·dq + dG
Steigung der IS- und der LM-Kurve
di
Die Steigung der IS- bzw. der LM-Kurve gibt an, wie stark sich bei Rückgang des
dY
Bruttoinlandsprodukts Y der Zins i ändern muß, damit wieder ein Gleichgewicht auf dem
Gütermarkt bzw. auf dem Geldmarkt herrscht. Zur formalen Analyse der Steigung verwenden
wir das totale Differential unter der Annahme konstanter exogener Variablen (Ω,T,q,G,M,p,c).
IS-Kurve:
• Gütermarktgleichgewicht: Y = C(Ω, Y-T) + I(i,q) + G
• Totales Differential: dY = CΩ·dΩ + CY-T·(dY-dT) + Ii·di + Iq·dq + dG
• Konstante Variablen: dΩ = dT = dq = dG = 0 :
dY = CY-T·dY + Ii·di
di
• Auflösen nach : (1- CY-T)·dY = Ii·di
dY
di
→ =
dY
( 1−
Y−T
C )
I
< 0
i

LM-Kurve:
Übung Makro II SS 2005
• Geldmarktgleichgewicht:
M
p
= L(Y,i,c)
• Totales Differential:
1 M
·dM - ·dp
2 p
= LY·dY + Li·di + Lc·dc
p
•
•
Konstante Variablen: dM = dp = dc = 0 :
0 = LY·dY + Li·di
di
• Auflösen nach : - LY·dY = Li·di →
dY
Budgetmultiplikator
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di
=
dY
LY
−
L
> 0
dY
Der Budgetmultiplikator gibt an, um wie viele Einheiten das Bruttoinlandsprodukt der
dG
Volkswirtschaft steigt, wenn die Staatsausgaben G um eine Einheit erhöht werden.
IS-Kurve: Y = C(Ω, Y-T) + I(i,q) + G
LM-Kurve:
M
p
= L(Y,i,c)
Ohne Berücksichtigung des monetären Sektors (nur IS-Kurve)
Es werden lediglich die direkten Effekte auf dem Gütermarkt betrachtet.
• Totales Differential: dY = CΩ·dΩ + CY-T·(dY-dT) + Ii·di + Iq·dq + dG
• Konstante Variablen: dΩ = dT = di = dq = 0 :
dY = CY-T·dY + dG
dY
• Nach auflösen: (1- CY-T)·dY = dG →
dG
Mit Berücksichtigung des monetären Sektors (IS-Kurve und LM-Kurve)
dY
dG
IS
=
i
( 1
−
1
CY−T Die steigenden Staatsausgaben führen zu höheren Zinsen. Die private Investitionsnachfrage wird
folglich teilweise verdrängt (Crowding Out Effekt) und der expansive Gütermarktmultiplikator
somit durch den Geldmarkt abgeschwächt.
Um den Staatsausgabenmultiplikator unter Berücksichtigung des monetären Sektors zu
errechnen, kann man die Gleichung der LM-Kurve nach der endogenen Variable i auflösen,
diese in die Gleichung der IS-Kurve einsetzen und wie oben mit Hilfe des totalen Differentials
dY
und unter Konstanthaltung aller übrigen exogenen Variablen nach auflösen. Eine weitere
dG
Möglichkeit, die vor allem bei etwas komplexeren Modelle von großem Vorteil ist, ist die
Verwendung der Cramer’schen Regel:
)
> 0

Übung Makro II SS 2005
Matrixschreibweise und Lösung mit der Cramer’schen Regel
• Totale Differentiale: dY = CΩ·dΩ + CY-T·(dY-dT) + Ii·di + Iq·dq + dG
1 M
·dM - ·dp
p
= LY·dY + Li·di + Lc·dc
2
p
• Auflösen nach endogenen Variablen Y und i:
(1-CY-T)·dY - Ii·di = CΩ·dΩ - CY-T·dT + Iq·dq + dG
1 M
LY·dY + Li·di = ·dM − ·dp 2
p p
- Lc·dc
CΩ
⋅dΩ
− CY
−T
⋅ dT + I q ⋅dq
+ dG
1−
CY
−T
− I i dY
• Matrixschreibweise: = 1 M
L L di ⋅ dM − ⋅ dp − Lc
⋅ dc
Y
i
2
p p
A · x = b
• Lösung des linearen Gleichungssystems mit der Cramer’schen Regel: Ersetzen der 1.
Spalte durch die Koeffizientenmatrix b:
=
det
dY =
det
[ b A ]
2
=
det
C
Ω
⋅ dΩ
− CY
−T
⋅ dT + I q ⋅ dq + dG
1 M
⋅dM
− ⋅dp
− Lc
⋅dc
2
p p
det
Y −T
L
Ii
L
[ A]
1 − C −
( CΩ
⋅ dΩ
− CY
−T
⋅ dT + I q ⋅dq
+ dG)
⋅ Li
+ I i ⋅ ( ⋅ dM − 2
( 1 − C
Y −T
i
Y
1
p
) ⋅ L + I ⋅ L
• Konstante Variablen: dΩ = dT = dq = dM = dp = dc = 0 :
dY
• Nach auflösen:
dG
dG ⋅ Li
+ 0
dY =
( 1−
C ⋅ L + I ⋅ L
dY
dG
dY
dG
IS,
LM
IS,
LM
=
<
Y−
T )
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i
i
Y
i
L
i
Y
− I
L
i
i
M
⋅ dp − Lc
⋅dc)
p
i
=
( 1 − C
L
Y−
T ) ⋅ Li
+ I i ⋅ LY
Y
( 1−
CY−T
) + Ii
⋅ >0
Li
( 1
−
1
CY−T )
=
dY
dG
IS
1