Totales Differential Steigung der IS- und der LM-Kurve
Totales Differential Steigung der IS- und der LM-Kurve
Totales Differential Steigung der IS- und der LM-Kurve
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Übung Makro II SS 2005<br />
Werkzeuge für die formale Analyse des <strong>IS</strong>-<strong>LM</strong>-Modells (geschl. Volkswirtschaft)<br />
Die formale Analyse des <strong>IS</strong>-<strong>LM</strong>-Modells in <strong>der</strong> offenen Volkswirtschaft (M<strong>und</strong>ell-Fleming-<br />
Modell) erfolgt analog, nur die Gütermarktgleichung än<strong>der</strong>t sich. Die Variablen Ω, T, q, G, M, p<br />
<strong>und</strong> c sind als exogen zu betrachten.<br />
<strong>Totales</strong> <strong>Differential</strong><br />
Das partielle <strong>Differential</strong> bringt zum Ausdruck, wie sich eine Variation einer Variablen bei<br />
Konstanthaltung aller übrigen Variablen auf eine Funktion auswirkt.<br />
Bsp. Auswirkung einer Än<strong>der</strong>ung des Haushaltsvermögens Ω auf den Konsum unter<br />
Konstanthaltung des verfügbaren Einkommens Y-T:<br />
Konsumfunktion: C = C(Ω, Y-T)<br />
Partielles <strong>Differential</strong>: dC = CΩ·dΩ wobei<br />
Seite 1<br />
C<br />
Ω<br />
∂C<br />
=<br />
∂Ω<br />
Beim totalen <strong>Differential</strong> hingegen lautet die Fragestellung, wie sich ein Funktionswert<br />
näherungsweise än<strong>der</strong>t, wenn sich alle Variablen än<strong>der</strong>n. Die Funktionsän<strong>der</strong>ung ergibt sich<br />
durch die Addition <strong>der</strong> partiellen <strong>Differential</strong>e.<br />
Bsp. Auswirkung <strong>der</strong> Än<strong>der</strong>ung aller Variablen auf das Volkseinkommen:<br />
<strong>IS</strong>-<strong>Kurve</strong>: Y = C(Ω, Y-T) + I(i,q) + G<br />
<strong>Totales</strong> <strong>Differential</strong>: dY = CΩ·dΩ + CY-T·(dY-dT) + Ii·di + Iq·dq + dG<br />
<strong>Steigung</strong> <strong>der</strong> <strong>IS</strong>- <strong>und</strong> <strong>der</strong> <strong>LM</strong>-<strong>Kurve</strong><br />
di<br />
Die <strong>Steigung</strong> <strong>der</strong> <strong>IS</strong>- bzw. <strong>der</strong> <strong>LM</strong>-<strong>Kurve</strong> gibt an, wie stark sich bei Rückgang des<br />
dY<br />
Bruttoinlandsprodukts Y <strong>der</strong> Zins i än<strong>der</strong>n muß, damit wie<strong>der</strong> ein Gleichgewicht auf dem<br />
Gütermarkt bzw. auf dem Geldmarkt herrscht. Zur formalen Analyse <strong>der</strong> <strong>Steigung</strong> verwenden<br />
wir das totale <strong>Differential</strong> unter <strong>der</strong> Annahme konstanter exogener Variablen (Ω,T,q,G,M,p,c).<br />
<strong>IS</strong>-<strong>Kurve</strong>:<br />
• Gütermarktgleichgewicht: Y = C(Ω, Y-T) + I(i,q) + G<br />
• <strong>Totales</strong> <strong>Differential</strong>: dY = CΩ·dΩ + CY-T·(dY-dT) + Ii·di + Iq·dq + dG<br />
• Konstante Variablen: dΩ = dT = dq = dG = 0 :<br />
dY = CY-T·dY + Ii·di<br />
di<br />
• Auflösen nach : (1- CY-T)·dY = Ii·di<br />
dY<br />
di<br />
→ =<br />
dY<br />
( 1−<br />
Y−T<br />
C )<br />
I<br />
< 0<br />
i
<strong>LM</strong>-<strong>Kurve</strong>:<br />
Übung Makro II SS 2005<br />
• Geldmarktgleichgewicht:<br />
M<br />
p<br />
= L(Y,i,c)<br />
• <strong>Totales</strong> <strong>Differential</strong>:<br />
1 M<br />
·dM - ·dp<br />
2 p<br />
= LY·dY + Li·di + Lc·dc<br />
p<br />
•<br />
•<br />
Konstante Variablen: dM = dp = dc = 0 :<br />
0 = LY·dY + Li·di<br />
di<br />
• Auflösen nach : - LY·dY = Li·di →<br />
dY<br />
Budgetmultiplikator<br />
Seite 2<br />
di<br />
=<br />
dY<br />
LY<br />
−<br />
L<br />
> 0<br />
dY<br />
Der Budgetmultiplikator gibt an, um wie viele Einheiten das Bruttoinlandsprodukt <strong>der</strong><br />
dG<br />
Volkswirtschaft steigt, wenn die Staatsausgaben G um eine Einheit erhöht werden.<br />
<strong>IS</strong>-<strong>Kurve</strong>: Y = C(Ω, Y-T) + I(i,q) + G<br />
<strong>LM</strong>-<strong>Kurve</strong>:<br />
M<br />
p<br />
= L(Y,i,c)<br />
Ohne Berücksichtigung des monetären Sektors (nur <strong>IS</strong>-<strong>Kurve</strong>)<br />
Es werden lediglich die direkten Effekte auf dem Gütermarkt betrachtet.<br />
• <strong>Totales</strong> <strong>Differential</strong>: dY = CΩ·dΩ + CY-T·(dY-dT) + Ii·di + Iq·dq + dG<br />
• Konstante Variablen: dΩ = dT = di = dq = 0 :<br />
dY = CY-T·dY + dG<br />
dY<br />
• Nach auflösen: (1- CY-T)·dY = dG →<br />
dG<br />
Mit Berücksichtigung des monetären Sektors (<strong>IS</strong>-<strong>Kurve</strong> <strong>und</strong> <strong>LM</strong>-<strong>Kurve</strong>)<br />
dY<br />
dG<br />
<strong>IS</strong><br />
=<br />
i<br />
( 1<br />
−<br />
1<br />
CY−T Die steigenden Staatsausgaben führen zu höheren Zinsen. Die private Investitionsnachfrage wird<br />
folglich teilweise verdrängt (Crowding Out Effekt) <strong>und</strong> <strong>der</strong> expansive Gütermarktmultiplikator<br />
somit durch den Geldmarkt abgeschwächt.<br />
Um den Staatsausgabenmultiplikator unter Berücksichtigung des monetären Sektors zu<br />
errechnen, kann man die Gleichung <strong>der</strong> <strong>LM</strong>-<strong>Kurve</strong> nach <strong>der</strong> endogenen Variable i auflösen,<br />
diese in die Gleichung <strong>der</strong> <strong>IS</strong>-<strong>Kurve</strong> einsetzen <strong>und</strong> wie oben mit Hilfe des totalen <strong>Differential</strong>s<br />
dY<br />
<strong>und</strong> unter Konstanthaltung aller übrigen exogenen Variablen nach auflösen. Eine weitere<br />
dG<br />
Möglichkeit, die vor allem bei etwas komplexeren Modelle von großem Vorteil ist, ist die<br />
Verwendung <strong>der</strong> Cramer’schen Regel:<br />
)<br />
> 0
Übung Makro II SS 2005<br />
Matrixschreibweise <strong>und</strong> Lösung mit <strong>der</strong> Cramer’schen Regel<br />
• Totale <strong>Differential</strong>e: dY = CΩ·dΩ + CY-T·(dY-dT) + Ii·di + Iq·dq + dG<br />
1 M<br />
·dM - ·dp<br />
p<br />
= LY·dY + Li·di + Lc·dc<br />
2<br />
p<br />
• Auflösen nach endogenen Variablen Y <strong>und</strong> i:<br />
(1-CY-T)·dY - Ii·di = CΩ·dΩ - CY-T·dT + Iq·dq + dG<br />
1 M<br />
LY·dY + Li·di = ·dM − ·dp 2<br />
p p<br />
- Lc·dc<br />
CΩ<br />
⋅dΩ<br />
− CY<br />
−T<br />
⋅ dT + I q ⋅dq<br />
+ dG<br />
1−<br />
CY<br />
−T<br />
− I i dY<br />
• Matrixschreibweise: = 1 M<br />
L L di ⋅ dM − ⋅ dp − Lc<br />
⋅ dc<br />
Y<br />
i<br />
2<br />
p p<br />
A · x = b<br />
• Lösung des linearen Gleichungssystems mit <strong>der</strong> Cramer’schen Regel: Ersetzen <strong>der</strong> 1.<br />
Spalte durch die Koeffizientenmatrix b:<br />
=<br />
det<br />
dY =<br />
det<br />
[ b A ]<br />
2<br />
=<br />
det<br />
C<br />
Ω<br />
⋅ dΩ<br />
− CY<br />
−T<br />
⋅ dT + I q ⋅ dq + dG<br />
1 M<br />
⋅dM<br />
− ⋅dp<br />
− Lc<br />
⋅dc<br />
2<br />
p p<br />
det<br />
Y −T<br />
L<br />
Ii<br />
L<br />
[ A]<br />
1 − C −<br />
( CΩ<br />
⋅ dΩ<br />
− CY<br />
−T<br />
⋅ dT + I q ⋅dq<br />
+ dG)<br />
⋅ Li<br />
+ I i ⋅ ( ⋅ dM − 2<br />
( 1 − C<br />
Y −T<br />
i<br />
Y<br />
1<br />
p<br />
) ⋅ L + I ⋅ L<br />
• Konstante Variablen: dΩ = dT = dq = dM = dp = dc = 0 :<br />
dY<br />
• Nach auflösen:<br />
dG<br />
dG ⋅ Li<br />
+ 0<br />
dY =<br />
( 1−<br />
C ⋅ L + I ⋅ L<br />
dY<br />
dG<br />
dY<br />
dG<br />
<strong>IS</strong>,<br />
<strong>LM</strong><br />
<strong>IS</strong>,<br />
<strong>LM</strong><br />
=<br />
<<br />
Y−<br />
T )<br />
Seite 3<br />
i<br />
i<br />
Y<br />
i<br />
L<br />
i<br />
Y<br />
− I<br />
L<br />
i<br />
i<br />
M<br />
⋅ dp − Lc<br />
⋅dc)<br />
p<br />
i<br />
=<br />
( 1 − C<br />
L<br />
Y−<br />
T ) ⋅ Li<br />
+ I i ⋅ LY<br />
Y<br />
( 1−<br />
CY−T<br />
) + Ii<br />
⋅ >0<br />
Li<br />
( 1<br />
−<br />
1<br />
CY−T )<br />
=<br />
dY<br />
dG<br />
<strong>IS</strong><br />
1