Folien 2. Teil - Mathematik und ihre Didaktik - HU Berlin

Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II
Teil 9: Extremwertaufgaben
Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik
Sommersemester 2010/11
Internetseite zur Vorlesung:
http://www.mathematik.hu-berlin.de/˜neumann/
Didaktik der Mathematik der S II, Differentialrechnung Sommersemester 2010/11

Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II
Extremwertaufgaben
Analytisches Standardverfahren
Öffnung des Standardverfahrens
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Analytisches Standardverfahren
Für welche
Lage von
P wird der
Flächeninhalt
des Rechtecks
PQRS
maximal?
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Analytisches Standardverfahren
1. Zielfunktion mit Definitionsmenge:
◮ Welche Größe ist zu optimieren?
Hauptbedingung abhängig von mehreren Variabeln
A(a, b) = (4 − a) · b
◮ Elimination von Variabeln über: Nebenbedingung: b = 7
16 a2 + 2
2. Bestimmung der Extremstellen
über notwendige und hinreichende Bedingung
3. Untersuchung der Ränder des Definitionsbereichs
nach globalen Extremwerten
4. Interpretation auf Sachzusammenhang
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Analytisches Standardverfahren
Zielfunktion A(a) = (4 − a)( 7
16 a2 + 2) mit DA = [0; 4]
Die Fläche wird maximal mit 8 FE für a = 0, also für P(0|2).
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Vorteile:
Analytisches Standardverfahren
◮ "[...] Stärke universeller Lösungsalgorithmen, nicht bei jedem
Einzelproblem in tiefes Nachdenken gestoßen zu werden." 1
Nachteile:
◮ Wenn das globale Maximum nicht gefunden werden kann,
(siehe Einführungsbeispiel!) ist der Algorithmus wenig sinnvoll.
◮ Der Erfolg hängt vom Auffinden der Zielfunktion ab, schwache
Schüler sind hier überfordert.
◮ Modellierung tritt in den Hintergrund
◮ Elementares Verständnis des Problems wird vernachlässigt → G3
1 Danckwerts, Vogel: Analysis verständlich unterrichten, S. 186
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1. Sinnliche Erfahrung
Öffnung des Standardverfahrens
a) Isoperimetrisches Problem für Rechtecke:
Welches Rechteck hat unter allen umfangsgleichen Rechtecken den
größten Inhalt?
⇒ Funktionaler Aspekt: Welche Größe ist variabel? Welche ist fest?
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Öffnung des Standardverfahrens
Beispiel b) Falten einer Schachtel:
Größtes Volumen eines oben geöffneten Quaders bei gleicher
Oberfläche
⇒ Funktionaler Aspekt: Welche Größe ist variabel? Welche ist fest?
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Öffnung des Standardverfahrens
2. Empirisch-numerisches Vorgehen
Beispiel a) Isoperimetrisches Problem für Rechtecke:
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Beispiel b) Falten einer Schachtel:
Öffnung des Standardverfahrens
Werte ins Koordinatensystem eintragen lassen oder über dynamische
Software:
http://wiki.zum.de/Mathematik-digital/
Anwendungsbezogene_Extremwertaufgaben
⇒ Funktionaler Aspekt, Lösung (!) des Verfahrens näherungsweise
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Beispiel c) Die optimale Dose:
Öffnung des Standardverfahrens
Welche Abmessungen hat die zylindrische 0,33l-Dose
mit minimaler Oberfläche?
Zielfunktion: O(r) = 2(πr2 + 330
330
r ) für r in cm und r ∈ [0; π ]
Veranschaulichung gefunden bei:
http://www.unterrichtsportal-m-ph.de/Peter/
geogebra/geogebra3/
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3. Anbieten elementarer Lösungen
Öffnung des Standardverfahrens
Beispiel a) Isoperimetrisches Problem
Zielfunktion: A(x) = x · ( U
2 − x) für die Seitenlänge x mit x ∈ [0; U]
Auffinden der Extremalstelle über das Vorwissen von Parabeln:
Extremstelle = arithmetisches Mittel der Nullstellen 0 und U
2 .
Der maximale Flächeninhalt liegt also bei U
4 .
⇒ Intuition und Testwerte werden durch Theorie bestätigt,
Zusammenhänge werden verdeutlicht.
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Beispiel b)
Öffnung des Standardverfahrens
Auf einer Geraden ist der Standort eines Punktes P so zu wählen, dass
die Summe der Entfernungen zu den Punkten A und B minimal wird.
Zielfunktion: Streckenlänge s(x) = (100 − x) 2 + 80 2 + √ x 2 + 40 2
für Strecke x = PD mit x ∈ [0; 100]
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Öffnung des Standardverfahrens
Beispiel b)
Spiegelung des Punktes B an der Geraden durch P und D:
Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist eine Gerade!
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Öffnung des Standardverfahrens
Fazit:
Das Verständnis der Problemstellung und elementare
Lösungsstrategien sollten vorrangig betrachtet werden.
Der Einsatz des Standardschemas zum Lösen von
Optimierungsproblemen sollte für den Schüler ein Gewinn sein.
Es sollte also nur dann erfolgen, wenn Genauigkeit oder
Sachzusammenhang es erfordern.
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